复杂网络分析 03 ER网络学习笔记

03 ER网络

• 3.1ER网络的生成方式
• 3.2ER网络的基本性质

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3.1 ER网络的生成方式

• G(N,L)模型：一个随机图由N个节点构成,并且有L条连边随机放置在L对节点之间(不出现重边和自环)。
• G(N,p)模型：一个随机图由N个节点构成并且任意两个不同节点之间存在一条连边的概率为p。
  1.边数分布
• 考虑G(N,p)生成模型,生成随机网络中的连边数是一个随机变量。
  P(L):对于一个含有N个节点以及连边概率为p的随机网,网络中恰好有L条连边的概率。（满足二项分布）
  在一个随机网中
  边数分布的平均值 $L=pN(N-1)/2$
  平均度 $K=p(N-1)$
  • 根据平均度的取值可以将网络特征分为四个区域：
    • k<1:亚临界 不存在最大连通集团 最大的群是一个树结构
    • k=1:临界 存在唯一的一个最大连通集团 规模小的子图是树形结构，最大连通集团含有环。
    • k>1:超临界 存在唯一的最大连通集团 最大连通集团含有环。
    • k> $lnN$:连通 只有一个连通图，最大连通集团是稠密的，没有群规模分布。

3.2 ER网络的基本性质

1. 随机网络的度分布
   随机网络的度分布满足泊松分布（在一定条件下）¹可以利用泊松分布拟合。
   • 最大度、最小度
     大部分节点的度值分布在均值附近。
   • 实际网络的度分布
     并不像ER网络的分布属于泊松分布
2. 平均距离
   随机图往往具有树形拓扑结构，节点度几乎恒定。
   一阶近邻，二阶近邻，……，d阶近邻→估计最大距离
3. 集聚系数
   因为连边是相互独立的并且两节点之间存在连边的概率为p。
   • 随机网络的集聚系数C很小
   • 固定网络的平均度,集聚系数C随网络规模N的增长而减小。
   • 集聚系数C独立于节点的度
     大部分实际网络的路径短于对应的随机网络；而集聚系数高于对应的随机网络；此外，实际网络度分布不是泊松分布或二项分布。

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参考文献

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1. Barabási Network Science Cambridge University Press ↩︎