复杂网络分析 07 网络上的动力学

07 网络上的动力学

• 7.1网络的结构与功能
• 7.2网络上的疾病传播
• 7.3网络上的随机游走
• 7.4网络上的同步

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7.1网络的结构与功能

网络的结构与功能关系紧密网络的拓扑结构会影响网络的功能,而网络的功能反过来又会影响网络结构的演化。

1. 网络的鲁棒性与抗毁性
   如果在移走少量节点后网络中的绝大部分节点仍然是连通的，那么就称该网络的连通性对节点故障具有鲁棒性。
   ER随机网和BA无标度网络的连通性对节点移除的鲁棒性。¹

• 对Internet的容错性和鲁棒性的研究：对随机攻击的鲁棒性较高，但对蓄意攻击即对高度值的中枢节点核心的攻击不鲁棒。
  度分布相同网络的细致结构未必相同

2. 网络上的动力学
   网络结构是研究网络动力学的基础，而网络动力学是研究系统功能的重要手段。探究网络上的动力学过程并以此来研究网络结构与功能之间的联系是十分必要的。²

• 网络上的动力学行为和过程
  动力系统:自旋、振子或混沌的同步、可激发系统
  传播过程:信息传播与拥堵、网络搜寻、运输过程、疾病传播、谣言的传播、舆论形成

1. 网络上的疾病传播
   复杂网络上的传播和扩散过程作为最重要的动力学过程之一，得到了广泛的研究和关注。
   研究网络上的传播过程对于理解和控制病毒在人群中的传播和信息在社交网络中的传播等实际问题有极其重要的意义。³
   1. 网络上的疾病传播模型
   2. 网络免疫
2. 网络上的随机游走
   随机游走就是众多动力学过程中最基本，同时也是研究历史最为悠久的一种,直以来备受关注。⁴
   1. 随机游走的定义
   2. 几个重要特征量
   3. 重要应用
3. 网络上同步
   同步是自然界和人类社会中的一种常见现象。网络同步主要取决于网络的拓扑结构和节点的动力学。⁵
   1 .同步的基本概念
   2. 网络同步能力的衡量
   3. 网络同步能力与网络基本特性之间的关系

7.2网络上的疾病传播

1. 完全混合下的疾病传播模型
   1. SIS模型
      在SIS模型中仅包含两类人群：①易感人群S②感染人群I。
      传播机制：易感个体以一定概率β成为感染个体感染个体又以一定概率γ成为易感个体。
   2. SIR模型
      包含三类人群，易感人群(S)感染人群(I)免疫人群®
      个体处于免疫状态是指个体被治愈后获得了免疫能力或者死亡，该个体不能被感染疾病或是传播疾病。
      传播机制：易感个体以一定概率β成为感染个体，感染个体又以一定概率γ成为免疫个体。
2. 网络上的疾病传播
   1. 从完全混合→网络拓扑结构的影响
   2. 从规则网格→复杂网络

• 复杂网络上的SIS模型
  ⑴小世界网络上的SIS模型
  假设一个易感节点被一个感染节点感染的概率为β,而一个感染节点恢复为易感节点的概率设为γ，有效扩散速率为 $λ=\fracβγ$。令γ=1。⁶
  ⑵BA无标度网络上的SIS模型
  ⑶一般网络下的SIS模型⁷
  得不出精确解，可以利用平均场的方法给出近似解。
  SIS模型的传播特性
  √经典传播理论：强度临界值 $λ_c$
  • $λ>$ $λ_c$ 指数速度消亡
  • $λ<$ $λ_c$ 在网络中传播开，并持久存在
    √一般网络上SIS模型传播的临界值为
  • $λ_c=\frac{k}{k^2}$非关联网络：无论传播强度多么小，疾病也可以持久存在。
  • $λ_c=\frac1{Λ_m}$关联网络：当 $k^2$发散时， $Λ_m→\infin$
• 复杂网络上的SIR模型
  利用渗流的过程对疾病传播进行研究⁸
  1. 完全图：特殊情况
  2. 一般网络：键逾渗模型

3. 网络免疫技术

• 熟识者免疫
  从含有N个节点的网络中随机选择比例为p的节点，再从每一个被选出的节点中随机选择它的一个邻居节点进行免疫。这种免疫策略不需要网络的全局信息。⁹
• 针对SIS模型
  目标免疫:通过有选择地对少量关键节点进行免疫的一种策略。
• 针对SIR模型的免疫问题
  等价为网络上的座-键混合逾渗问题(随机选择个体进行免疫)
  疾病传播模型不仅能够用来研究社会网络中的疾病传播，还可以应用于社交网络中的谣言传播、社会网络中的信息传播、节点传播影响力的分析。

7.3网络上的随机游走

复杂网络上的随机游走是指以网络节点为载体,按照一定概率从网络上任一节点转移到与之有连接的其他节点的状态转移过程。
转移概率矩阵描述了一个随机游走者从一个节点i转移到另外一个节点j的概率，是一个非对称矩阵。在无向无权网络中，随机游走者将以相等的概率从当前节点转移到它的任意一个邻居节点。

• 几个重要特征量
  平均首达时间
  游走者从任意起点首次到达目标节点的时间的平均值
  平均通勤时间
  游走者从起点到终点,然后由终点返回到起点所需要的平均时间
  平均返回时间
  游走者离开离开某节点后第一次返回到该节点的平均时间
  覆盖时间
  一个游走者访问所有节点所需要的时间
• 应用
  网络中的搜索
  节点中心性度量 （PageRank 拉普拉斯中心性 TempoRank 随机游走结束中心性 离散选择模型）
  节点的相似性度量：
  • 平均通勤时间：如果两个节点的平均通勤时间越小，则两个节点越接近。¹⁰
  • 基于随机游走的余弦相似性。¹¹
  • 重启的随机游走¹²
  • SimRank指标：如果两节点所连接的节点相似，那么这两节点就相似¹³
  • 局部随机游走指标¹⁴
  • 叠加的局部随机游走指标
    社团划分 （Walktrap InfoMap 局部社团划分）
  • Walktrap算法初始将每个节点看作为一个社团，然后基于节点间的距离进行层次聚类，直到所有节点都归为一类，最终应用Q函数来判定最优的社团划分。¹⁵
    网络分解

7.4网络上的同步

1. 同步的基本概念

• (精确)同步:
  两个或多个动力学系统,除了自身的演化外，其间还有相互作用(耦合)，这种作用既可以是单向的，也可以是双向的。
  当满足一定条件时，在耦合的影响下，这些系统的状态输出就会逐渐趋同进而完全相等,称为同步(精确同步)。
  广义的同步还包括相同步和频率同步等等。

2. 网络同步能力的衡量
   网络关于拓扑结构的同步化能力 可以用对应的拉普拉斯矩阵的特征值比率来刻画。
   比率值越小，其同步化能力就越强。
3. 小世界特性与网络同步能力的关系
   网络的特征根比率 $λ_N/λ_2$,随连接概率p的增加而减小,说明小世界网络的同步化能力会随着“小世界”操作(概率p增加)而增强。¹⁶
4. 无标度特性与网络同步能力的关系
   幂律指数 $\gamma$越大,其 $λ_N/λ_2$越小,网络的同步化能力越强。¹⁷

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参考文献

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1. Albert R, Jeong H, Barabási A L. Error and attack tolerance of complex networks[J]. nature, 2000, 406(6794): 378-382. ↩︎

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3. de Arruda G F, Rodrigues F A, Moreno Y. Fundamentals of spreading processes in single and multilayer complex networks[J]. Physics Reports, 2018, 756: 1-59. ↩︎

4. Masuda N, Porter M A, Lambiotte R. Random walks and diffusion on networks[J]. Physics reports, 2017, 716: 1-58. ↩︎

5. Arenas A, Díaz-Guilera A, Kurths J, et al. Synchronization in complex networks[J]. Physics reports, 2008, 469(3): 93-153. ↩︎

6. Pastor-Satorras R, Vespignani A. Epidemic dynamics and endemic states in complex networks[J]. Physical Review E, 2001, 63(6): 066117. ↩︎

7. Pastor-Satorras R, Vespignani A. Epidemic dynamics and endemic states in complex networks[J]. Physical Review E, 2001, 63(6): 066117. ↩︎

8. Newman M E J. Spread of epidemic disease on networks[J]. Physical review E, 2002, 66(1): 016128. ↩︎

9. Cohen R, Havlin S, Ben-Avraham D. Efficient immunization strategies for computer networks and populations[J]. Physical review letters, 2003, 91(24): 247901. ↩︎

10. Klein D J, Randić M. Resistance distance[J]. Journal of mathematical chemistry, 1993, 12(1): 81-95. ↩︎

11. Fouss F, Pirotte A, Renders J M, et al. Random-walk computation of similarities between nodes of a graph with application to collaborative recommendation[J]. IEEE Transactions on knowledge and data engineering, 2007, 19(3): 355-369. ↩︎

12. Brin S, Page L. Computer networks and ISDN systems[J]. The Anatomy of a Search Engine, 1998, 30: 107-117. ↩︎

13. Jeh G, Widom J. SimRank: a measure of structural-context similarity[C]//Proceedings of the eighth ACM SIGKDD international conference on Knowledge discovery and data mining. 2002: 538-543. ↩︎

14. Liu W, Lü L. Link prediction based on local random walk[J]. EPL (Europhysics Letters), 2010, 89(5): 58007. ↩︎

15. Pons P, Latapy M. Computing communities in large networks using random walks[C]//International symposium on computer and information sciences. Springer, Berlin, Heidelberg, 2005: 284-293. ↩︎

16. Hong H, Kim B J, Choi M Y, et al. Factors that predict better synchronizability on complex networks[J]. Physical Review E, 2004, 69(6): 067105. ↩︎

17. Nishikawa T, Motter A E, Lai Y C, et al. Heterogeneity in oscillator networks: Are smaller worlds easier to synchronize?[J]. Physical review letters, 2003, 91(1): 014101. ↩︎