复杂网络分析 04 小世界网络

04 小世界网络

• 4.1小世界特性
• 4.2WS模型
• 4.3小世界网络中的导航

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4.1小世界特性

1. Milgram小世界实验¹
   信件传递实验
2. 六度分离理论
   在线社会网络随事件推移，人与人的间隔也在下降。
3. “小”的含义

• 平均距离小：例如:在社交网络Facebook中人与人之间的间隔只有3.57个人。
• 集聚系数大：例如:在与朋友的聊天中,经常会发现你的某个朋友恰好也是你正在聊天的朋友的朋友。
  实际网络的平均距离与ER网络的平均距离量级相当，从这个角度说，网络属于小世界。

4.2 WS模型

1. 小世界模型算法²
   1. 定义
      首先给定一个含有N个节点的环状最近邻连接网络，其中每个节点都与它左右相邻的各m个节点相连。然后以概率p随机的重新连接网络中原有的每条边，得到WS小世界网络。
   2. 算法步骤
      A) 在环上按顺时针方向依次访问每个节点。
      B) 假设节点i为当前被访问的节点。顺时针选取与节点i相连的m条边中的每一条连边,边的一个端点仍然固定为i,以概率p随机的选取网络中的任一节点作为该边的另一端点，以概率1-p保持另-端点位置不变。
      C) 在随机连边过程中， 不允许出现重边和自环。
2. 小世界性质
   当重连概率p较小时，网络既具有较短的平均路径长度又具有较高的集聚系数。
   N足够大时
   平均距离的小世界特性展现出来。
   N固定时
   $p>\frac1{2mN}$³

4.3 小世界网络中的导航

• Q:如何以最快的速度将信息传递给另一个节点
• 全局信息：当知道全局信息时，可以直接找最短路径
• 局域信息：可导航性⁴

1. 网络的可导航性
   由于实验者都无法全面把握身处的网络结构，即实验者只拥有局部信息而非全局信息。
   Kleinberg提出了一种分散式贪婪算法用以描述整个搜索过程
   该算法只需要了解搜索目标的地理位置以及与当前信息传递者存在连边的所有节点的地理位置。整个搜索过程中，实验者都将信息传递给所有邻居节点中离搜索目标网格距离最近的节点。
   如果说一个网络的搜索时间复杂度随着网络的规模N呈对数多项式增长，则称该网络可导航。
2. 创新性
   Kleinberg假设空间位置会对社会搜索产生影响。
   地理位置对个体间的交互作用有较强影响:人们倾向于更频繁地与在附近生活或工作的人互动。
   Kleinberg使用一个添加了长程连边且规模为nxn的二维规则网格来抽象真实的社会网络。
   模型中每个节点都与离它网格距离为p的所有节点之间存在短程连边,同时该节点还拥有q条长程连边。
   节点u,v之间存在连边的概率与它们网格距离之间的幂函数 $d[u,v]$ ^$-α$成正比。
   两个节点之间的距离是根据它们在网格上的位置(坐标)计算的(坐标差之和)
3. 分散式贪婪算法
   一个信息由节点S发出, 需要将信息传递给节点T。
   节点s知道自己所在网格上的位置，以及它的邻居(短距离和长距离)的位置。它也知道节点T在网格上的位置。
   消息的持有者选择将其发送到离目标节点T最近的邻居。
   α=2 一个节点的长程连接分布在所有距离尺度上是均匀分布的
   0<α<2 一个节点的长程连接分布偏向于距离比较大
   α>2 一个节点的长程连接分布偏向于距离比较小

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参考文献

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1. Milgram, S. (1967). The small world problem. Psychology Today, 1, 61-67. ↩︎

2. Watts D J , Strogatz S H . Collective Dynamics of Small World Networks[J]. Nature, 1998, 393(6684):440-442. ↩︎

3. Barthelemy M L，Amaral A N. small-world networks: Evidence for a crossver picture[J]. Phys. Rev， Lett，1999（82）: 3180-3183. ↩︎

4. Kleinberg J M . Navigation in a small world[J]. Nature, 2000, 406(6798):p.845-848. ↩︎