数据库学习摘记 —— 关系代数和关系演算

关系数据结构

笛卡儿积：给定一组集合D1,D2,…,Dn，这些集合可以相同, 定义D1,D2,…,Dn 的笛卡尔积为：D1×D2×…×Dn={(d1,d2,…,dn) | diÎDi，i=l,2,…,n}，其中的每一个元素(d1,d2,…,dn)叫做一个n元组，元素中第i个值di叫做第i个分量。

关系：笛卡尔积D1×D2×…×Dn的任一个子集称为 D1,D2,…,Dn 上的一个关系。关系是元组的集合，亦即实体的集合。

域：集合 D1,D2,…,Dn是关系中元组的取值范围，称为关系的域。关系中的每一列对应一个域，也称为关系的属性，不同的列可以有相同的域，列名对应域名，即属性名。

度：集合 D1,D2,…,Dn的n为关系的度。

候选键：能唯一地标识出一个元组的属性或属性组。

联合键：两个或两个以上属性组成的候选键。

全键：关系的全部属性构成关系的唯一候选键。该关系称为全键关系(All-Key Relation)

主键：在关系的多个候选键中选择的一个候选键，用它作为元组的唯一标示。在一个关系中只能有一个主键。

外键：关系R中的一组属性A不是关系R的主键，但A是另一个关系S的主键，则属性组A就是关系R的外键。

关系模式：若U={A1, A2 …, An}为关系R的属性集，则关系模式简记为R(U)或R(A1, A2, …, An)

完整性规则

实体完整性规则：关系中每个元组的主键属性对应的各个分量不能为空值。
参照完整性规则：设属性组A是关系R的外键且A又是关系S的主键，则对于R中的每一个元组在属性A上的值必须为：空值或者等于S中某一个元组的主键值。
实体完整性和参照完整性都是关系模型必须满足的完整性约束条件，这些约束条件由RDBMS自动支持。
用户定义的完整性：用户根据具体应用而对数据附加的约束条件。

关系代数中传统的集合运算

关系R与S是相容的: 若关系R和S满足：R和S具有相同的度；R中的第i个属性和S中的第i个属性定义在同一个域上。
并运算： R∪S；差运算：R-S；交运算：R∩S
广义笛卡尔积：设R为m元关系，S为n元关系，则R与S的广义笛卡尔积R×S是一个(m+n) 元关系，其中的每个元组的前m个分量是R中的一个元组，后n个分量是S中的一个元组。若R有k1个元组，S有k2个元组，则R×S有(k1×k2)个元组，即广义笛卡尔积。

关系代数中专门的集合运算

选择运算：从关系Students中选取所有的男生。
其关系运算表达式为：σSsex='男'(Students)
投影运算：选取学生关系Sudents中的所有Sname(姓名)，Sage(年龄)和Class(班级)。
其关系运算表达式为：∏Sname, Sage, Class(Students)
连接运算： θ为算术比较符，从二个关系的广义笛卡尔积中选取满足一定连接条件的元组。
自然连接：两个关系进行连接比较的属性列完全相同的等值连接，且结果关系中没有重复的属性。

RS=Π_B(σ_R.A=S.A(R×S))，B=A_RUA_S

除法运算：
T＝Π1,2,…,n-m(R)
W＝(T×S)-R (计算T×S中不在R中的元组)

V＝Π1,2,…,n-m(W)

R÷S＝T-V

【查询选修了'英语' 课程的学生姓名】

【检索选修了所有课程的学生编号和姓名】

SELECT Sname,Sno

FROM Students WHERE NOT EXISTS

(SELECT * FROM Courses WHERE NOT EXISTS

(SELECT * FROM Reports WHERE

SNO=Students.Sno AND Cno=Course.Cno))

元组关系演算

表达式的一般形式为{ t | α(t)}，它是使α(t)为真的所有元组t构成的集合。其中，t是元组变量，α(t)是元组关系演算公式(简称公式)，它由原子公式和运算符组成。

S-学生表、R-成绩表、C-课程表

【检索班级编号为'199902'的全班学生的学号】

{t[1] | S(t)∧t[5]＝'199902'}

【查询选修了'英语' 课程的学生姓名】

{t[2] | S(t)∧ヨu(R(u)∧u[1]= t[1]∧ヨv(C(v)∧v[1]=u[2]∧v[2]='英语'))}

{t[2] | S(t)∧ヨuヨv (R(u)∧C(v)∧u[1]= t[1]∧v[1]=u[2]∧v[2]='英语')}

【检索选修了所有课程的学生】

{t | S(t)∧∀v(C(v)∧ヨu(R(u)∧u[2]=v[1]∧u[1]=t[1]))}

域关系演算

【检索班级编号为'199902'的全班学生的学号】

{t1 | S(t1, t2, t3, t4, t5)∧t5='199902'}}

【查询选修了'英语'课程的学生名】

{t2 | S(t1, t2, t3, t4, t5)∧ヨu1ヨu2ヨv1ヨv2(R(u1, u2, u3)∧C(v1, v2,v3)∧t1=u1∧u2=v1∧v2='英语')}

【检索选修了所有课的学生】

{(t1, t2, t3, t4, t5) | S(t1, t2, t3, t4, t5)∧ヨv1ヨu1ヨu2(R(u1, u2, u3)∧C(v1, v2, v3)∧u2=v1∧u1=t1)}

关系运算的安全限制

无限关系：当元组变元t中某一属性的定义域是无限时，如表示所有不在关系R中的元组的集合{t | ┐R(t)}。
无穷验证过程：t的取值范围为无限，如验证(∀t)(ω(t))为真的过程。
安全表达式：不产生无限关系和无穷验证过程的表达式。
安全限制：为保证所有表达式都是安全表达式所采取的限制措施。
关系代数运算是安全的：当给定的所有关系是有限时，其运算的有限次复合不会出现无限关系和无穷验证过程。
安全限制方法：定义一个ψ的有限符号集合，记作DOM(ψ)(不必是最小集合)，它由以下两类符号构成：
1. ψ中的常量符号；
2. ψ中涉及的所有关系的所有元组的各个分量值。
这样，把{t | ┐R(t)}和(∀t)(ω(t))中的t都全部限制在DOM(ψ)中取值，就不会出现无限关系和无穷验证过程，这时关系演算是安全的。
【关系R如右，求元组演算表达式S={t | ┐R(t)}】
令DOM(ψ)＝∏A(R)∪∏B(R)∪∏C(R)＝{a, b, 1, 3, 7, 8}，则结果关系：
S={ t | ┐R(t)}=DOM(ψ)×DOM(ψ)×DOM(ψ)-R。因此，由于有DOM(ψ)的安全限制，关系S中有216-2=214 个元组，故是有限的。
关系代数、安全的元组关系演算和安全的域关系演算的表达能力是等价的，可以相互转换。

查询优化

途径：
1. 代数优化：对查询语句进行变换，只改变其基本操作顺序提高查询效率，但不涉及存取路径。
2. 物理优化：根据系统提供的存取路径，比如顺序或索引等来选取较好查询方案。
3. 规则优化：根据一些启发式规则，如先做选择、投影，再做连接操作等来选择较好的查询方案。
4. 代价优化：在规则基础上，对所提供的查询方案进行执行代价估算，选择代价最小的查询方案。
执行代价：
在集中式数据库中，查询的执行代价为：总代价=I/O代价+CPU代价
在多用户环境下查询的执行代价为：总代价=I/O代价+CPU代价+内存代价
查询优化策略（启发式规则）
1. 选择运算应尽早执行
2. 把投影运算和选择运算同时进行
3. 把投影操作与它前面或后面的一个双目运算结合起来
4. 在执行连接运算之前，可对需要连接的关系进行适当地预处理，如建索引或排序
5. 把笛卡尔乘积和其后的选择运算合并成为连接运算
6. 存储公用子表达式
查询优化的等价公式：
1. 笛卡儿积、自然连接和条件连接都满足交换律和结合律
2. 投影运算的串接：
3. 选择运算的串接：
4. 选择运算与投影运算交换：
5. 选择运算与笛卡尔积交换：
  设F中涉及的属性都是E1的属性：
  如果F=F1∧F2，且F1只涉及E1的属性，F2只涉及E2的属性：
  如果F= F1∧F2 ，且F1只涉及E1的属性，F2涉及E1和E2两者的属性：