Introducción popular a la fórmula de Taylor (expansión de Taylor) + explicación detallada de su esencia

Expliquemos brevemente qué es la fórmula de Taylor.

Fórmula de Taylor, también llamada expansión de Taylor. Es una fórmula que utiliza información sobre una función en un punto determinado para describir sus valores cercanos. Si la función es lo suficientemente suave y se conocen los valores derivados de cada orden de la función en un punto determinado, la fórmula de Taylor puede usar estos valores derivados como coeficientes para construir una función de aproximación polinomial para encontrar el valor en la vecindad . de este punto.

Entonces, ¿qué hace la fórmula de Taylor?

En pocas palabras, se trata de utilizar una función polinómica para aproximar una función dada (es decir, intentar ajustar la imagen de la función polinómica a la imagen de la función dada). Tenga en cuenta que la aproximación debe expandirse desde un determinado punto en la imagen de la función. Si desea encontrar el valor de un determinado punto de una función muy compleja, pero no puede lograrlo directamente, puede utilizar la fórmula de Taylor para aproximar el valor, que es una de las aplicaciones de la fórmula de Taylor. La fórmula de Taylor se utiliza principalmente en la iteración de gradientes en el aprendizaje automático.

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1. Planteando la pregunta

Los polinomios son la clase más simple de funciones elementales. En cuanto a los polinomios, dado que sus propias operaciones son solo suma, resta y multiplicación de términos finitos, los polinomios son una herramienta que la gente está feliz de usar en términos de cálculos numéricos. Por lo tanto, a menudo utilizamos polinomios para aproximar funciones. Es por eso que la fórmula de Taylor elige una función polinómica para aproximar una función dada.

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2. Ejemplos de cálculos aproximados

Las matemáticas elementales han aprendido algunas propiedades importantes de algunas funciones como:, pero las matemáticas elementales no han respondido cómo calcularlas. Tome el $\pequeño \cos x$ cálculo aproximado de f (x) = como ejemplo:

①.Aproximación de primer orden (lineal)

Usando la fórmula de cálculo diferencial aproximado f(x) $\pequeño \aprox$ f( $\pequeña x_{0}$ ) + ${F}'$ ( $\pequeña x_{0}$ )(x - $\pequeña x_{0}$ ) (esta fórmula se convierte de la fórmula de expresión de límite diferencial/derivada), la $\pequeña x_{0}$ aproximación lineal de f(x) cerca de = 0 es: f( x) $\pequeño \aprox$ f(0) + ${F}'$ (0) x , entonces f(x) = 1, entonces la función de aproximación lineal ( $\pequeño \cos x$ $\pequeño \aprox$ x) = 1 de f( x) cerca de = 0, como se muestra a continuación: $\pequeña x_{0}$ $P_ {1}$

Ventajas de la aproximación lineal: forma simple y cálculo conveniente; desventaja: cuanto más lejos del origen O, peor es la aproximación.

②.Aproximación cuadrática

Aproximación polinómica cuadrática f(x) = $\pequeño \cos x$ , esperamos:

$\pequeño P_{2}\izquierda ( 0 \derecha )$ = $\pequeña f\izquierda ( 0 \derecha )$ = $\pequeño \cos 0$ = 1 = $\pequeño a_{0}$ (es decir, se espera que los valores de la función aproximada y la función dada en x = 0 sean iguales);

$\small {P_{2}}'\left ( 0 \right )$ = $\small f{}'\left ( 0 \right )$ = $\pequeño \sin 0$ = 0 = $\pequeño a_{1}$ (es decir, se espera que la pendiente de la función de aproximación en x = 0 sea igual a la pendiente de la función dada);

$\small {P_{2}}''\izquierda ( 0 \derecha )$ = $\small {f}''\izquierda ( 0 \derecha )$ = $\pequeño -\cos 0$ = -1, entonces $\pequeño a_{2}$ = $\pequeño -\frac{1}{2}$ (es decir, se espera que la curvatura de la función de aproximación en x = 0 sea igual a la curvatura de la función dada);

Entonces $\pequeño \cos x$ $\pequeño \aprox$ $\pequeño P_{2}\left ( x \right )$ = 1 - $\pequeño \frac{x^{2}}{2}$ , como se muestra a continuación:

La aproximación cuadrática es mucho mejor que la aproximación lineal, pero está limitada a [ $\pequeño -\frac{\pi }{2}$ , $\pequeño \frac{\pi }{2}$ ], y fuera de este rango, las imágenes son obviamente muy diferentes. ¿Por qué esperamos que los valores de las funciones, los valores de la primera derivada y los valores de la segunda derivada de dos funciones en un determinado punto sean iguales? Debido a que estos valores expresan las propiedades más básicas y principales de la función (imagen), la aproximación de estas propiedades puede hacer que las dos funciones se aproximan (se puede ver intuitivamente en la imagen de la función de arriba)

③ Ocho tiempos de aproximación

Usando una aproximación polinómica de octava f(x) = $\pequeño \cos x$ , esperamos:

$\small P_{8}\left (0 \right ) = f\left ( 0 \right )$ , averigüe $\pequeño a_{0} = 1$ (es decir, se espera que el valor de la función de aproximación en x = 0 sea igual al valor de la función dada);

$\small {P_{8}}'\left ( 0 \right ) = {f\left ( 0 \right )}'$ , averigüe $\pequeño a_{1} = 0$ (es decir, se espera que la pendiente de la función de aproximación en x = 0 sea igual a la pendiente de la función dada);

.... .... ....

$\small {P_{8}}^{(8)}\left ( 0 \right ) = f^{(8)}(0)$ , averigüe $\small a_{8} = \frac{1}{8!}$ (es decir, se espera que la curvatura de la función de aproximación en x = 0 sea igual a la curvatura de la función dada);

Entonces , como se muestra a continuación:

$\small P_{8}\left ( x \right )$ (imagen verde) está $\pequeño P_{2}\left ( x \right )$ más cerca de la función coseno (imagen roja) en un rango mayor que (imagen azul)

Se puede ver en los tres grados diferentes anteriores de aproximación de funciones: cuando los requisitos de precisión son altos y es necesario estimar el error, se deben usar polinomios de alto orden para aproximar la función de expresión y se debe dar la fórmula del error.

Lo anterior es un proceso de uso de funciones polinómicas para aproximar una función dada.

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3. Derivación de la fórmula de Taylor

Esto lleva a una pregunta: dada una función $\pequeña f\izquierda ( x \derecha )$ , encuentre una función polinómica que $\pequeña x_{0}$ esté cerca del punto especificado cerca del punto especificado , que se registra como: $\pequeña f\izquierda ( x \derecha )$ $\pequeña P\izquierda ( x \derecha )$

Comete $\pequeña f\izquierda ( x \derecha )$ $\pequeño \aprox$ $\pequeño P_{n}\left ( x \right )$ y haz ambos errores $\small R_ {n}\left ( x \right ) = f\left ( x \right ) - P_ {n}\left ( x \right )$ estimables. Entonces, ¿qué condiciones debe satisfacer el polinomio que estás buscando y cuál es el error?

Geométricamente, $\pequeña y = f\izquierda ( x \derecha )$ , $\small y = P_{n}\left ( x \right )$ representa dos curvas, como se muestra a continuación:

Mantenerlos $\pequeña x_{0}$ juntos lo hace obvio:

1. Primero, se requiere $\small \left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right )$ que las dos curvas se crucen en un punto , es decir $\small P_{n}\left ( x_{0} \right ) = f\left ( x_{0} \right )$

2. Si desea acercarse, también es necesario que las dos curvas sean tangentes en $\small \left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right )$ un punto (se puede ver intuitivamente en la imagen que la intersección [imagen marrón y roja] y la tangencia [imagen verde y roja], las dos curvas están $\pequeña x_{0}$ cerca entre sí (obviamente la diferencia es muy grande y la tangencia está más cerca), es decir $\small {P_{n}}'\left ( x_{0} \right ) = {f}'\left ( x_{0} \right )$

3. Si desea acercarse, también necesita que las curvas $\small \left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right )$ se doblen en la misma dirección en los puntos (como se muestra en la figura anterior, las direcciones de curvatura son opuestas [imágenes verde y roja]; las direcciones de curvatura son las mismas [azul e imágenes rojas], obviamente en puntos $\pequeña x_{0}$ lejanos, la diferencia entre las dos funciones con la misma dirección de flexión es menor), es decir $\small {P_{n}}''\left ( x_{0} \right ) = {f}''\left ( x_{0} \right )$ , se puede inferir más: si $\small \left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right )$ hay cerca $\small {P_{n}}'\left ( x_{0} \right ) = {f}'\left ( x_{0} \right )$ , $\small {P_{n}}''\left ( x_{0} \right ) = {f}''\left ( x_{0} \right )$ $\pequeño \cdots \cdots \cdots$ $\small P_{n}^{\left ( n \right )}\left ( x_{0} \right ) = f^{n}\left ( x_{0} \right )$ la aproximación es cada vez mejor.

En resumen, el polinomio que buscas debe cumplir las siguientes condiciones:

Explique cómo se realiza la conversión anterior, tomando como ejemplo la derivada de segundo orden en la tercera línea anterior:

Transformación de la primera flecha: $\pequeño P_{n}\left ( x \right )$ después de encontrar la función derivada segunda $\pequeña x_{0}$ , tráigala para obtener $\small {P_{n}}''\left ( x_{0} \right ) = 2!a_{2}$

Transformación de la segunda flecha: entonces $\small {f}''\left ( x_{0} \right ) = 2!a_{2}$ , entonces $\small a_{2} = \frac{1}{2!}{f}''\left ( x_{0} \right )$

Todos los coeficientes de la función polinómica se pueden expresar mediante, entonces obtenemos: $\pequeño un$ $\pequeña f\izquierda ( x \derecha )$

El error es $\small R_ {n} \left ( x \right ) = f\left (x \right ) - P_ {n}\left ( x \right )$ . Debido a que una función polinómica se utiliza para aproximar infinitamente una función dada, debe haber una pequeña cantidad de error entre las dos.

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4. Definición de la fórmula de Taylor

Entonces obtenemos la definición de la fórmula de Taylor:

Si una función tiene derivadas hasta el orden en algún intervalo abierto que contiene $\pequeña f\izquierda ( x \derecha )$ , entonces para $\pequeña x_{0}$ $\pequeño \izquierda ( a,b \derecha )$ $\pequeño \izquierda ( n+1 \derecha )$ $\small \forall x \in \left ( a,b \right )$

El resto (es decir, el error) $\small R_{n}\left ( x \right ) = \frac{f^{\left ( n+1 \right )}(\xi )}{\left ( n+1 \right )!}(x- x_{0})^{n+1}$ está $\xi$ entre $\pequeña x_{0}$ x y x. Hay varias formas de expresar el resto de la fórmula de Taylor. La tabla anterior se llama resto lagrangiano de la expansión de Taylor de orden n. El resto lagrangiano es la fórmula de Taylor de orden n ampliada a un orden más, y n se convierte en n+1. Tenga en cuenta que el resto aquí es el error, porque si usa una función polinómica para expandirse en un cierto punto y aproximar una función dada, definitivamente habrá una pequeña cantidad de error al final, que llamamos resto.

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5. Extensión – Fórmula de Maclaurin

Es un caso especial de la fórmula de Taylor: la fórmula de Taylor $\pequeña x_{0} = 0$ en aquella época . Entonces, $\pequeña x_{0} = 0$ al ponerlo en la fórmula, obtenemos:

Fórmulas de Maclaurin con restos de Peano para varias funciones elementales comunes:

$\small \left ( x-x_{0} \right )^{n}$ El infinitesimal de orden superior del resto de Peano es :

Expliquemos brevemente qué es la fórmula de Taylor.

Entonces, ¿qué hace la fórmula de Taylor?

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1. Planteando la pregunta

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2. Ejemplos de cálculos aproximados

①.Aproximación de primer orden (lineal)

Ventajas de la aproximación lineal: forma simple y cálculo conveniente; desventaja: cuanto más lejos del origen O, peor es la aproximación.

②.Aproximación cuadrática

Aproximación polinómica cuadrática f(x) = $\pequeño \cos x$ , esperamos:

Entonces $\pequeño \cos x$ $\pequeño \aprox$ $\pequeño P_{2}\left ( x \right )$ = 1 - $\pequeño \frac{x^{2}}{2}$ , como se muestra a continuación:

③ Ocho tiempos de aproximación

Usando una aproximación polinómica de octava f(x) = $\pequeño \cos x$ , esperamos:

.... .... ....

Entonces , como se muestra a continuación:

$\small P_{8}\left ( x \right )$ (imagen verde) está $\pequeño P_{2}\left ( x \right )$ más cerca de la función coseno (imagen roja) en un rango mayor que (imagen azul)

Lo anterior es un proceso de uso de funciones polinómicas para aproximar una función dada.

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3. Derivación de la fórmula de Taylor

Geométricamente, $\pequeña y = f\izquierda ( x \derecha )$ , $\small y = P_{n}\left ( x \right )$ representa dos curvas, como se muestra a continuación:

Mantenerlos $\pequeña x_{0}$ juntos lo hace obvio:

1. Primero, se requiere $\small \left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right )$ que las dos curvas se crucen en un punto , es decir $\small P_{n}\left ( x_{0} \right ) = f\left ( x_{0} \right )$

En resumen, el polinomio que buscas debe cumplir las siguientes condiciones:

Explique cómo se realiza la conversión anterior, tomando como ejemplo la derivada de segundo orden en la tercera línea anterior:

Transformación de la segunda flecha: entonces $\small {f}''\left ( x_{0} \right ) = 2!a_{2}$ , entonces $\small a_{2} = \frac{1}{2!}{f}''\left ( x_{0} \right )$

Todos los coeficientes de la función polinómica se pueden expresar mediante, entonces obtenemos: $\pequeño un$ $\pequeña f\izquierda ( x \derecha )$

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4. Definición de la fórmula de Taylor

Entonces obtenemos la definición de la fórmula de Taylor:

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5. Extensión – Fórmula de Maclaurin

Es un caso especial de la fórmula de Taylor: la fórmula de Taylor $\pequeña x_{0} = 0$ en aquella época . Entonces, $\pequeña x_{0} = 0$ al ponerlo en la fórmula, obtenemos:

Fórmulas de Maclaurin con restos de Peano para varias funciones elementales comunes:

$\small \left ( x-x_{0} \right )^{n}$ El infinitesimal de orden superior del resto de Peano es :