【算法设计与分析】绪论

算法理论的两大论题：

• 算法设计——对于一个问题如何设计一个有效的算法
• 算法分析——如何评价或判断一个算法的优劣

算法及其重要特性

算法（Algorithm）：对特定问题求解步骤的一种描述，是指令的有限序列。
算法的五大特性：

• 输入：一个算法有零个或多个输入。
• 输出：一个算法有一个或多个输出。
• 有穷性：一个算法必须总是在执行有穷步之后结束，且每一步都在有穷时间内完成。
• 确定性：算法中的每一条指令必须有确切的含义，对于相同的输入只能得到相同的输出。
• 可行性：算法描述的操作可以通过已经实现的基本操作执行有限次来实现。

算法的描述方法

⑴ 自然语言
优点：容易理解
缺点：冗长、二义性
使用方法：粗线条描述算法思想
注意事项：避免写成自然段
⑵ 流程图
优点：流程直观
缺点：缺少严密性、灵活性
使用方法：描述简单算法
注意事项：注意抽象层次
⑶ 程序设计语言
优点：能由计算机执行
缺点：抽象性差，对语言要求高
使用方法：算法需要验证
注意事项：将算法写成子函数
⑷ 伪代码——算法语言
伪代码（Pseudocode）：介于自然语言和程序设计语言之间的方法，它采用某一程序设计语言的基本语法，操作指令可以结合自然语言来设计。
优点：表达能力强，抽象性强，容易理解

算法分析

算法分析（Algorithm Analysis）：
对算法所需要的两种计算机资源——时间和空间进行估算

• 时间复杂性（Time Complexity）
• 空间复杂性（Space Complexity）

算法分析的目的：

• 设计算法——设计出复杂性尽可能低的算法
• 选择算法——在多种算法中选择其中复杂性最低者

时间复杂性分析

问题规模：输入量的多少；
基本语句：执行次数与整个算法的执行时间成正比的语句
大O符号
定义：设 f 和 g是定义域为自然数集N上的函数. 若存在正数 c 和 n0，使得对一切 n>=n0，有 0<=f(n)<=c g(n) 成立,
则称 f(n) 的渐近的上界是 g(n)， 记作
$f (n) = O(g(n))$

大Ω符号
定义：设 f 和 g是定义域为自然数集
N上的函数. 若存在正数 c 和 n0，使得对一切 n>=n0,有 0<=cg(n)<=f(n)成立, 则称 f(n) 的渐近的下界是 g(n),记作
$f (n) = Ω (g(n))$

小o符号
定义:设 f 和 g是定义域为自然数集 N上 的函数. 若对于任意正数 c 都存在 n0，使 得对一切 n <= n0,有0 <= f(n) < c g(n) 成立, 则记作
$f (n) = o(g(n))$

小ω符号
定义：设 f 和 g是定义域为自然数集 N上
的函数. 若对于任意正数 c 都存在 n0，使得对一切 n<= n0,有0 <=cg(n) < f(n)成立, 则记作
$f (n) = ω (g(n))$

θ符号
若 f (n) = O (g(n)) 且 f (n) = Ω (g(n)), 则记作
$f (n) = θ (g(n))$