53.Course Schedule
There are a total of n courses you have to take, labeled from 0 to n-1.
Some courses may have prerequisites, for example to take course 0 you have to first take course 1, which is expressed as a pair: [0,1]
Given the total number of courses and a list of prerequisite pairs, is it possible for you to finish all courses?
Example1
Input:2, [ [0,1] ]
Output:true
Explanation:There are a total of 2 courses to take.
To take course 0 you should have finished course 1. So it is possible.
Example2
Input:2, [ [1,0] , [0,1] ]
Output:false
Explanation:There are a total of 2 courses to take.
To take course 1 you should have finished course 0, and to take course 0 you should also have finished course 1. So it is impossible.
思路
这周算法课讲的是图论里面的深度优先搜索算法（Depth-First-Search），这个题就很适合拿来进行练习。如果要用图解出这个问题的话，假设要完成课程0，需要先完成课程1，那么就有一条由0指向1的有向边，把Example1和Example2画成图：
2, [ [0,1] ]
2, [ [1,0] , [0,1] ]
这两个例子还不够直观，再多举两个例子：
3，[ [0,1] , [0,2] , [1,2] ]（能完成）
3，[ [0,1] , [2,0] , [1,2] ]（不能完成）
这样我们就能很清楚的看到，当课程中有部分课程互为前置课程，也就是有向图中存在环的时候，我们是不能完成全部课程的，所以思路就很清晰了，从一个节点出发，如果能够再次返回这个节点，那么就证明图中存在着环。下面是我的第一版代码：
class Solution {
public:
bool canFinish(int numCourses, vector<pair<int, int>>& prerequisites)
{
vector<int> mark; //标记数组，记录这条路径访问过哪些节点
for (int i = 0; i < numCourses; i++)
{
mark.clear();
if (findCircle(i, prerequisites, mark, arrived)) return false;
}
return true;
}
//递归函数
bool findCircle(int num, vector<pair<int, int>>& prerequisites, vector<int>& mark)
{
for (int i = 0; i < mark.size(); i++)
if (mark[i] == num) return true; //当前节点已经存在于标记数组，证明有环
mark.push_back(num);
for (int i = 0; i < prerequisites.size(); i++)
if(prerequisites[i].first == num &&
findCircle(prerequisites[i].second, prerequisites, mark)) return true;
mark.pop_back();
return false;
}
};
这段代码应该是正确的，但提交代码到LeetCode时，不出所料，超出时间限制了。上面的第一版没有任何剪枝，对于一条n个节点的路径，会遍历n次，这就有太多没有必要的重复访问了，课程数为2000时就已经超时。我尝试加入一个最简单的剪枝来解决重复遍历，于是有了下面的第二版代码：
class Solution {
public:
bool canFinish(int numCourses, vector<pair<int, int>>& prerequisites)
{
vector<int> arrived; //标记所有无环路径的节点
vector<int> mark;
int i,j;
for (i = 0; i < numCourses; i++)
{
//如果一个节点在一条无环路径上，就不需要从这个节点开始遍历寻找环
//即使这个节点可能在一个环上，也可以从环上的其他节点开始遍历，依然能够访问到这个节点
for (j = 0; j < arrived.size(); j++)
if (arrived[j] == i) break;
if (j == arrived.size())
{
mark.clear();
if (findCircle(i, prerequisites, mark, arrived)) return false;
}
}
return true;
}
bool findCircle(int num, vector<pair<int, int>>& prerequisites, vector<int>& mark, vector<int>& arrived)
{
for (int i = 0; i < mark.size(); i++)
if (mark[i] == num) return true;
mark.push_back(num);
arrived.push_back(num);
for (int i = 0; i < prerequisites.size(); i++)
if(prerequisites[i].first == num &&
findCircle(prerequisites[i].second, prerequisites, mark, arrived)) return true;
mark.pop_back();
return false;
}
};
第二版的代码虽然能够通过审核了，但能够改进的地方还很多。第一，DFS函数写的非常粗糙，很不方便阅读，理解它变得很困难。第二点就是还有很多可以进行剪枝的地方我都没有去考虑，代码的效率一般。DFS是一个很强力的算法工具，原理并不难，但应用于具体问题时非常考验人的算法能力，对于它我也只是一知半解，还有许多需要研究学习的内容，希望下次我能够写出足够优雅的DFS函数。