动态规划【3】之多重背包

多重背包也是 0/1背包的一个变式。与 0/1 背包的区别在于每种物品 有 $k$个，而非 $1$个。¹

在本章中讲介绍多重背包的两种方式：

• 第1种，直接转换成0/1背包。对应例题：luogu2347 砝码称重
• 第2种，二进制拆分后，转换成0/1背包。对应例题：luogu1776 宝物筛选

第1种，直接转换成0/1背包

从定义来看，多重背包与0/1背包的区别仅仅是每种物品变成了 $k$个，我们可以将一种物品的 $k$个拆成 $k$种物品的一个，就转换成了0/1背包。

对应luogu2347 砝码称重的代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1e3+10;
int dp[N][N];
int n;
int a[N];
const int way[]={1,2,3,5,10,20};
int main(){
    n=0;
    for (int i=0;i<6;i++){
        int x;scanf("%d",&x);
        for (int j=0;j<x;j++){
            n++;a[n]=way[i]; 
        }
    }
    dp[0][0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++){
        for (int j=0;j<=1000;j++){
            dp[i][j] = dp[i-1][j];
            if (j>=a[i]) dp[i][j] |= dp[i-1][j-a[i]];
        }
    }
    int ans=0;
    for (int i=1;i<=1000;i++){
        ans += dp[n][i];
    }
    printf("Total=%d\n",ans);
    return 0;
}

第2种，二进制拆分后，转换成0/1背包

在第 $1$种做法中，若 $k$很大( $k=100000)$，拆分后的物品种数将非常大，直接导致空间复杂度太大(时间复杂度也太大）。一种合适的做法是将 $k$进行二进制拆分，如 $18=1+2+4+8+3$， 将 $18$拆成 $2^0,2^1,2^2,...，2^i$，最后多出来的部分（设 $j$,这里为 $3$）单独成一种物品。

说明为何二进制拆分和第1种是等价的，因为前面的二进制部分( $2^0,2^1,2^2,...，2^i$)是可以完全表示区间 $[0,2^{i+1}-1]$内的所有数的。因此，二进制拆分可以表示的区间为下面两种情况：

• 没有选择多出来的部分 $j$,可表示的范围是 $[0,2^{i+1}-1]$，
• 选择多出来的部分 $j$, 可表示的范围是 $[j+0,j+2^{i+1}-1]$。

两部分取并集 $[0,j+2^{i+1}-1]$，可表示的范围是包括 $k$以内的所有数。

对应luogu1776 宝物筛选的代码（使用了一维0/1背包，感谢hyy贡献代码）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX_N = 2e5;
const int MAX_M = 4e4+9;

struct NN{
    int value;
    int weight;
};

NN List[MAX_N];
int f[MAX_M];
int id;
int n,W;
int v,w,m;

int main(){
    cin >> n >> W;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int c=1;
        cin >> v >> w >> m;
        while(m-c>=0){
            id++;
            List[id].value=c*v;
            List[id].weight=c*w;
            m-=c;
            c*=2;
        }
        if(m>0){
            id++;
            List[id].value=m*v;
            List[id].weight=m*w;
        }
    }
    for(int i=1;i<=id;i++){
        for(int j=W;j>=List[i].weight;j--){
            f[j]=max(f[j],f[j-List[i].weight]+List[i].value);
        }
    }
    cout << f[W];
    return 0;
}

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1. https://oi-wiki.org/dp/knapsack/#_5 ↩︎