多重背包：
问题背景：
有一个容量为V的背包，有N种物品，每一种物品的体积为c[i]，对应的价值为v[i]，数量为s[i]，选择最佳方案，使背包中所装的物品的总价值最大。
有了之前的基础，我们就能轻松地写出状态转移方程
f[i][j] = max{ f[i-1][j – k * c[i]] + k * c[i] | k * c[i] <=j, k <= s[i]}
时间复杂度O(V*Σs[i])
先给出这样的代码：
for(int i = 1; i <= N; i++) // N为物品种类 V为背包容量
for(int j = V; j >= c[i]; j--)
// c表示物品体积 s为物品数量 v表示物品的价值
for(int k = 1; k <= s[i]; k++)
if(j >= k * s[i])
f[j] = max(f[j], f[j - k * c[i]] + k * v[i])
cout << f[V];
这个很好理解，先问你第一个物品i拿还是不拿，再问你第二个物品i拿还是不拿，一直问到没有物品i或者装不下了。但是这样的复杂度太大。
我们可以考虑使用二进制的思想，优化为O(V*Σlog s[i]) （这个思想其实在完全背包中也能使用，但是复杂度是O(V Σlog V/c[i])，并没有O(VN)算法好，所以在完全背包那一讲没有提到，放到多重背包来讲
什么是二进制思想呢？
将第i个物品分成若干个物品，给每一个物品分配一个系数k，就相当于把这k个物品看做是一个物品，同样，这个物品的价值也是k倍，让这些系数为1,2,4，…，2(K-1),s[i]-2k-1,保证这些系数都大于零，k是满足最后一个式子大于0的最大整数。
比如 13 = 1 + 2 + 4 + 6
对于一种有13个的物品，如果你想拿7个 就拿1+6如果想拿3个就拿1+2 这样一来，我们就不用判断13次了，大大减少了复杂度。这样将物品分组之后，我们只需要对他们都进行01背包就可以了。
最后贴上代码：
for(int i = 1; i <= N; i++)
// N 为种类数 V为背包容量 c为物品体积 v为物品价值 s为物品数量
{
for(int k = 1; k <= s[i]; k *= 2)//二进制思想在这里体现
{
for(int j = V; j >= c[i] * k; j--)
f[j] = max(f[j], f[j - c[i] * k] + v[i] * k);
s[i] -= k;
}
for(int j = V; j >= c[i] * s[i]; j--)
//这里是 01背包 V >= c[i] * s[i]就是表示第i件物品都能装下去
f[j] = max(f[j], f[j - c[i] * s[i]] + s[i] * v[i]);
}
cout << f[V] << endl;
在这里顺便提一下，多重背包问题也是有O(VN)算法的，是使用单调队列的方法，这里就不介绍了，感兴趣的可以自行搜索。
混合背包问题
问题背景：
将01背包，完全背包，多重背包混合起来，即有的物品只能取一次，有的物品可以取无限次，有的物品能取一定的次数。这样我们如何求解呢。
其实很简单，我这这里给出伪代码：
**for 1=1…N
if 第i件物品属于01背包
zeroonepack(c[i], v[i])
else if 第i件物品属于完全背包
completepack(c[i], v[i])
else if 第i件物品属于多重背包
multiplepack(c[i], v[i], s[i])**
复杂的问题是由简单问题组合而来，当我初次看到混合背包问题的时候我也感觉这个问题好难，但经过分析之后，发现无非就是前面三种基础背包的组合。
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