洛谷——P1028 数的计算

题目描述

我们要求找出具有下列性质数的个数(包含输入的自然数 $n$):

先输入一个自然数 $n$( $n\leq1000$),然后对此自然数按照如下方法进行处理:

1. 不作任何处理;

2. 在它的左边加上一个自然数,但该自然数不能超过原数的一半;

3. 加上数后,继续按此规则进行处理,直到不能再加自然数为止.

输入格式

自然数 $n$，且 $n\leq1000$

输出格式

1个整数，表示具有该性质数的个数

输入输出样例

输入

6

输出

6

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解释：满足的数分别为6，16，26，126，36，136

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1.首次尝试

解法一 递归

显然，最简单直接的做法就是递归（将一个大问题规约成更小规模的子问题，通过子问题的求解完成原问题）
假设：
当输入为4时，满足的其性质的数有——4本身，加上其规模 $^1/_2$的子问题解的个数，即 4， 24， 124
根据我们的分析，算法的也就不难写出来了，递归代码如下

int fun(int n) {	//版本一 递归
	int cnt = 0;
	for(int i=1; i<=n/2; i++) {
		cnt += fun(i);
	}
	return cnt+1;
}

2.超时

递归的方法虽然简单直观，但是提交没过——超时了，递归深度太深导致爆栈了，这时候我们就需要思考能不能改进？能不能进一步优化？

启发

还记得最初在学习递归的时候，一个经典的案例就是斐波那契数列： $f(n) = f(n-1) + f(n-2), n\geq2$
我们发现，当递归调用的时候，其中某一个子树的值可能会被重复计算很多次，很费时间：

例如图中 $f(2)$的值就被重复计算了三次，那么我们能不能让它只计算一次呢？

动态规划（DP）思想

对于斐波那契数列的一种优化方法就是利用数组暂存中间值，这样就避免了重复计算
那么什么又是动态规划？

遵循动态规划算法是将问题递归地分解成更简单的重叠子问题，通过子问题的解决来解决原问题
动态规划目前已广泛应用于经济学、计算机视觉、语音识别、人工智能、计算机图形学和生物信息学

在斐波那契数列的例子中，多次计算的 $f（2）$的值，这样就是一个重叠的子问题，我们应避免重复计算带来的时间开销，于是引入了数组——保存每一次计算的值（这样一个过程称为记忆， 对于提高递归算法效率是很重要的技术）

3.优化

我们有了思路，下面的关注点就在于寻找该问题的一个递推关系式
我们先列出来一部分：（其中 $f(n)$表示自然数 $n$所具有上述三种性质的个数）

$f(1) = 1$
$f(2) = 2$	$f(3) = 2$
$f(4) = 4$	$f(5) = 4$
$f(6) = 6$	$f(7) = 6$
$f(8) = 10$	$f(9) = 10$
…

我们可以看出:

• 当 $n$为奇数时( $n>1$)， $f(n) = f(n-1)$

• 当 $n$为偶数时，分析却复杂一些，我们不妨画出其递归树结构：
  
  以 $f(4)$为例，观察其结构，我们发现右框部分就是 $f(4/2)$的个数，那么左边是什么呢？
  仔细思考左框可以看出，左部分的个数相当于少了一个 $f(4/2)$子树的个数，这不正好等于 $f(3)$吗？

综上，我们可以得出递推式：

1. $f(1) = 1$
2. $n>1$时
   • $n$为奇数， $f(n) = f(n-1)$
   • $n$为偶数， $f(n) = f(n-1) + f(n/2)$

代码

long fun(int n){
	long a[n+1];

	a[0] = 1;
	
	for(int i=1; i<n+1; i++){
		if(i%2 != 0)    //奇数
			a[i] = a[i-1];
		else
			a[i] = a[i-1] + a[i/2];
	}
	
	return a[n];
}

4.小结

学习算法的道路漫长且艰巨，唯有不断打磨自己不断思考，挖掘其背后的本质，才能取得进步