[剑指-Offer] 42. 连续子数组的最大和(前缀和、双指针、动态规划、代码优化）

1. 题目来源

链接：连续子数组的最大和
来源：LeetCode——《剑指-Offer》专项

2. 题目说明

输入一个整型数组，数组里有正数也有负数。数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。

要求时间复杂度为 $O(n)$。

示例1:

输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

提示：

• 1 <= arr.length <= 10^5
• -100 <= arr[i] <= 100

3. 题目解析

方法一：前缀和+双指针+巧妙解法

连续子数组最大和问题，可以用一维前缀和的知识进行巧妙解答。 关于前缀和思想，可参考博主的这篇博文：[有趣的算法思维] 3. 前缀和思维与最大子阵和(前缀和、最大子段和、最大子阵和、代码优化)

首先，题目要求时间复杂度为 $O(n)$， $O(n^2)$ 的遍历所以可能区间来取最大值肯定不行，需要一个 $O(n)$ 的方法。在这个问题中就想到了双指针，但是光用双指针也不可能 $O(n)$ 的遍历所有区间，必然需要一个巧妙的方法来更新指针的移动，这里的策略就是：

• 尾指针遍历到哪一位，看一下头尾指针的前缀和的大小和这一个位的数的大小
• 如果前缀和小于这一位，说明从头指针开始的子数组必然小于从这一位开始的子数组，所以这时候把头指针移到尾指针上即可
• 如果前缀和大于这一位的话，尾指针向后 +1 即可

这样便能在遍历 1 次前缀和数组的情况下得到结果。

参见代码如下：

// 执行用时 :36 ms, 在所有 C++ 提交中击败了27.23%的用户
// 内存消耗 :25.9 MB, 在所有 C++ 提交中击败了100.00%的用户

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() == 1) return nums[0];
        vector<int> vt(nums.size() + 1, 0);
        int cnt = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) {
            cnt += nums[i];
            vt[i + 1] += cnt;
        }
        int left = 1, right = 1;
        int sum = -10000000;
        while (right <= nums.size()) {
            int tmp = vt[right] - vt[left - 1];
            if (tmp < nums[right - 1]) {
                sum = max(sum, nums[right - 1]);
                left = right;
            }
            else {
                sum = max(sum, tmp);
                right += 1;
            }
        }
        return sum;
    }
};

方法二：原地动规+常规解法

这是一道基础的动态规划问题，常常能作为学习动态规划的基础入门题出现，即在原地修改数组，将数组每个位置的值更改为当前位置上的最大和。 即原地动规。

这种写法修改了原数组，还是需要实现询问是否能对原数组进行修改？

参见代码如下：

// 执行用时 :24 ms, 在所有 C++ 提交中击败了79.79%的用户
// 内存消耗 :25.4 MB, 在所有 C++ 提交中击败了100.00%的用户

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int tmp = nums[0];
        for (int i = 1; i < nums.size(); ++i) {
            if (nums[i - 1] > 0) nums[i] += nums[i - 1];

            tmp = max(tmp, nums[i]);
        }
        return tmp;
    }
};