凸优化学习[一] | 预备知识：凸函数

对于任意 $x_1,x_2\in \mathbb{R} ^n$ ，且满足 $\alpha + \beta = 1,\alpha \geqslant 0,\beta \geqslant 0$，令下式成立的 $f(x)$称为凸函数。
$f(\alpha x_1+\beta x_2)\leqslant\alpha f(x_1)+\beta f(x_2)$
证明如下：

如图所示，连接 $(x_1,f(x_1))$， $(x_2,f(x_2))$，得该直线得表达式为
$y-f(x_1) = \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}(x-x_1)$
令 $\beta = 1-\alpha$，将 $x = \alpha f(x_1) + \beta f(x_2)$带入上式得
$y = \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}[\alpha(x_1-x_2)+(x_2-x_1)]+f(x_1)$
$=\alpha f(x_1) + (1-\alpha)f(x_2)$
$=\alpha f(x_1) + \beta f(x_2)$
可见，满足上述性质的函数，都是凸函数。