使用Eigen求解线性方程组
一. 矩阵分解：
矩阵分解 (decomposition, factorization)是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积，可分为三角分解、满秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD（奇异值）分解等，常见的有三种：1)三角分解法 (Triangular Factorization)，2)QR 分解法 (QR Factorization)，3)奇异值分解法 (Singular Value Decompostion)。
1. LU三角分解：
三角分解法是将原正方 (square) 矩阵分解成一个上三角形矩阵 或是排列(permuted) 的上三角形矩阵和一个 下三角形矩阵，这样的分解法又称为LU分解法。它的用途主要在简化一个大矩阵的行列式值的计算过程，求 反矩阵，和求解联立方程组。不过要注意这种分解法所得到的上下三角形矩阵并非唯一，还可找到数个不同 的一对上下三角形矩阵，此两三角形矩阵相乘也会得到原矩阵。
MATLAB以lu函数来执行lu分解法， 其语法为[L,U]=lu(A)。
2. QR分解：
QR分解法是将矩阵分解成一个正规正交矩阵与上三角形矩阵,所以称为QR分解法,与此正规正交矩阵的通用符号Q有关。
MATLAB以qr函数来执行QR分解法， 其语法为[Q,R]=qr(A)。
3. 奇异值分解：
奇异值分解 (singular value decomposition,SVD) 是另一种正交矩阵分解法；SVD是最可靠的分解法，但是它比QR 分解法要花上近十倍的计算时间。[U,S,V]=svd(A)，其中U和V分别代表两个正交矩阵，而S代表一对角矩阵。 和QR分解法相同， 原矩阵A不必为正方矩阵。使用SVD分解法的用途是解最小平方误差法和数据压缩。
MATLAB以svd函数来执行svd分解法， 其语法为[S,V,D]=svd(A)。
4. LLT分解：
A=LL^T
Cholesky 分解是把一个对称正定的矩阵表示成一个下三角矩阵L和其转置的乘积的分解。它要求矩阵的所有特征值必须大于零，故分解的下三角的对角元也是大于零的（LU三角分解法的变形）。
5. LDLT分解法：
若A为一对称矩阵且其任意一k阶主子阵均不为零，则A有如下惟一的分解形式：
A=LDL^T
其中L为一下三角形单位矩阵（即主对角线元素皆为1），D为一对角矩阵（只在主对角线上有元素，其余皆为零），L^T为L的转置矩阵。
LDLT分解法实际上是Cholesky分解法的改进，因为Cholesky分解法虽然不需要选主元，但其运算过程中涉及到开方问题，而LDLT分解法则避免了这一问题，可用于求解线性方程组。
二. 代码使用：
1 <span style="font-size:18px;">#include <iostream>
2 #include <Eigen/Dense>
3 4 using namespace std; 5 using namespace Eigen; 6 7 int main() 8 { 9 //线性方程求解 Ax =B; 10 Matrix4d A; 11 A << 2,-1,-1,1, 12 1,1,-2,1, 13 4,-6,2,-2, 14 3,6,-9,7; 15 Vector4d B(2,4,4,9); 16 Vector4d x = A.colPivHouseholderQr().solve(B); 17 Vector4d x2 = A.llt().solve(B); 18 Vector4d x3 = A.ldlt().solve(B); 19 std::cout << "The solution is:\n" << x <<"\n\n"<<x2<<"\n\n"<<x3 <<std::endl; 20 }</span>
除了colPivHouseholderQr、LLT、LDLT，还有以下的函数可以求解线性方程组，请注意精度和速度：解小矩阵（4*4）基本没有速度差别
1 // Solve Ax = b. Result stored in x. Matlab: x = A \ b.
2 x = A.ldlt().solve(b)); // A sym. p.s.d. #include <Eigen/Cholesky> 3 x = A.llt().solve(b)); // A sym. p.d. #include <Eigen/Cholesky> 4 x = A.lu().solve(b)); // Stable and fast. #include <Eigen/LU> 5 x = A.qr().solve(b)); // No pivoting. #include <Eigen/QR> 6 x = A.svd().solve(b)); // Stable, slowest. #include <Eigen/SVD> 7 // .ldlt() -> .matrixL() and .matrixD() 8 // .llt() -> .matrixL() 9 // .lu() -> .matrixL() and .matrixU() 10 // .qr() -> .matrixQ() and .matrixR() 11 // .svd() -> .matrixU(), .singularValues(), and .matrixV()
一. 矩阵分解：
矩阵分解 (decomposition, factorization)是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积，可分为三角分解、满秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD（奇异值）分解等，常见的有三种：1)三角分解法 (Triangular Factorization)，2)QR 分解法 (QR Factorization)，3)奇异值分解法 (Singular Value Decompostion)。
1. LU三角分解：
三角分解法是将原正方 (square) 矩阵分解成一个上三角形矩阵 或是排列(permuted) 的上三角形矩阵和一个 下三角形矩阵，这样的分解法又称为LU分解法。它的用途主要在简化一个大矩阵的行列式值的计算过程，求 反矩阵，和求解联立方程组。不过要注意这种分解法所得到的上下三角形矩阵并非唯一，还可找到数个不同 的一对上下三角形矩阵，此两三角形矩阵相乘也会得到原矩阵。
MATLAB以lu函数来执行lu分解法， 其语法为[L,U]=lu(A)。
2. QR分解：
QR分解法是将矩阵分解成一个正规正交矩阵与上三角形矩阵,所以称为QR分解法,与此正规正交矩阵的通用符号Q有关。
MATLAB以qr函数来执行QR分解法， 其语法为[Q,R]=qr(A)。
3. 奇异值分解：
奇异值分解 (singular value decomposition,SVD) 是另一种正交矩阵分解法；SVD是最可靠的分解法，但是它比QR 分解法要花上近十倍的计算时间。[U,S,V]=svd(A)，其中U和V分别代表两个正交矩阵，而S代表一对角矩阵。 和QR分解法相同， 原矩阵A不必为正方矩阵。使用SVD分解法的用途是解最小平方误差法和数据压缩。
MATLAB以svd函数来执行svd分解法， 其语法为[S,V,D]=svd(A)。
4. LLT分解：
A=LL^T
Cholesky 分解是把一个对称正定的矩阵表示成一个下三角矩阵L和其转置的乘积的分解。它要求矩阵的所有特征值必须大于零，故分解的下三角的对角元也是大于零的（LU三角分解法的变形）。
5. LDLT分解法：
若A为一对称矩阵且其任意一k阶主子阵均不为零，则A有如下惟一的分解形式：
A=LDL^T
其中L为一下三角形单位矩阵（即主对角线元素皆为1），D为一对角矩阵（只在主对角线上有元素，其余皆为零），L^T为L的转置矩阵。
LDLT分解法实际上是Cholesky分解法的改进，因为Cholesky分解法虽然不需要选主元，但其运算过程中涉及到开方问题，而LDLT分解法则避免了这一问题，可用于求解线性方程组。
二. 代码使用：
1 <span style="font-size:18px;">#include <iostream>
2 #include <Eigen/Dense>
3 4 using namespace std; 5 using namespace Eigen; 6 7 int main() 8 { 9 //线性方程求解 Ax =B; 10 Matrix4d A; 11 A << 2,-1,-1,1, 12 1,1,-2,1, 13 4,-6,2,-2, 14 3,6,-9,7; 15 Vector4d B(2,4,4,9); 16 Vector4d x = A.colPivHouseholderQr().solve(B); 17 Vector4d x2 = A.llt().solve(B); 18 Vector4d x3 = A.ldlt().solve(B); 19 std::cout << "The solution is:\n" << x <<"\n\n"<<x2<<"\n\n"<<x3 <<std::endl; 20 }</span>
除了colPivHouseholderQr、LLT、LDLT，还有以下的函数可以求解线性方程组，请注意精度和速度：解小矩阵（4*4）基本没有速度差别
1 // Solve Ax = b. Result stored in x. Matlab: x = A \ b.
2 x = A.ldlt().solve(b)); // A sym. p.s.d. #include <Eigen/Cholesky> 3 x = A.llt().solve(b)); // A sym. p.d. #include <Eigen/Cholesky> 4 x = A.lu().solve(b)); // Stable and fast. #include <Eigen/LU> 5 x = A.qr().solve(b)); // No pivoting. #include <Eigen/QR> 6 x = A.svd().solve(b)); // Stable, slowest. #include <Eigen/SVD> 7 // .ldlt() -> .matrixL() and .matrixD() 8 // .llt() -> .matrixL() 9 // .lu() -> .matrixL() and .matrixU() 10 // .qr() -> .matrixQ() and .matrixR() 11 // .svd() -> .matrixU(), .singularValues(), and .matrixV()