非线性方程组求解-MatLab

一、非线性方程求根

通过以下问题学习此知识点：

现在你想买一套300万元的房子，首付40%，贷款20年，等额本息，已知月还款额为1.2万元，求贷款月利率为多少？

(1) 编写结合牛顿下山法和割线法的综合迭代方法求解函数，调用后求解；

(2) 使用steffenson法求解。

1、牛顿迭代法

又称为牛顿-拉弗森方法（Newton-Raphson method），单变量下又称为切线法。它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数f (x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f (x) = 0的根。用牛顿迭代法解非线性方程，是把非线性方程f(x) = 0线性化的一种近似方法。
牛顿迭代法的本质是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程f(x)=0逐步归结为某种线性方程来求解。

设方程f(x)=0有近似根，将函数f(x)在点处展开，则有

于是，方程f(x)=0就可以近似表示为

对该方程求解，得到
$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{'}(x_k)} \quad\quad (k=0,1,2,3...)$
该迭代公式即为牛顿迭代公式。

$x_{k+1}$ 是 $y=f(x)$ 的切线在点 $(x_k,f(x_k))$ 处与 $x$ 轴交点的横坐标。

算法流程图：

对牛顿迭代法更加直观的理解

2、牛顿下山法

在牛顿迭代法中，有时候会出现如下迭代回退的情况，导致出现死循环

当选取初值有困难时,可改用如下迭代格式,以扩大初值的选取范围,
$x_{n+1}=x_n-\lambda\frac{f(x_k)}{f^{'}(x_k)}$
其中λ称为下山因子,λ选取应满足单调性条件
$|f(x_{n+1}|<|f(x_n)|$
这样的算法称下山法.将下山法和牛顿法结合起来使用的方法,称为牛顿下山法.

下山因子λ的选择是逐步探索的过程.从λ=1开始反复将λ减半进行试算,如果能定出λ使单调性条件成立则“下山成功”.与此相反,如果找不到使单调性条件成立的λ,则“下山失败”.此时需另选初值x0重算

3、割线法引入

割线法又称为弦截法法

为什么要引入割线法？

在牛顿下山法中我们需要计算被切割点的倒数，在多次迭代情况下，调用MatLab自带的求导函数会占用很多计算资源，所以，我们采用向后有限差分来近似导数计算，什么意思？

上图：

在割线法中，省略了求导步骤，用 $x_k$ 和 $x_{k-1}$ 两点连成的直线与x轴的交点近似代替了牛顿法中 $x_{k+1}$ 的求解

由此，减少了计算资源的消耗
需要注意

弦截法和牛顿迭代法都是线性化方法,牛顿迭代法在计算 $x_{n+1}$ 时只用到前一步的值 $x_n$ ,而弦截法用到前面两步的结果 $x_n$ 和 $x_{n+1}$ ,因此使用割线法必须先给出两个初值值 $x_0,x_{1}$ .

牛顿下山法和割线法结合算法如下：

function [x,iter,X]=newton_secant(fun,x0,x1,eps,maxiter)
% 牛顿下山+割线法求解非线性方程的根
% 输入参数：
%      ---fun：迭代函数
%      ---x0,x1：初始迭代点
%      ---eps：精度要求，默认值为1e-6
%      ---maxiter：最大迭代次数，默认值为1e4
% 输出参数：
%      ---x：非线性方程的近似根
%      ---iter：迭代次数
%      ---X：每一步迭代的结果
if nargin<3,error('输入参数至少需要3个！'),end
if nargin<4|isempty(eps),eps=1e-6;end
if nargin<5|isempty(maxiter),maxiter=1e4;end
f0 = feval(fun,x0); % 计算x0处的函数值
f1 = feval(fun,x1); % 计算x1处的函数值
k=0;err=1;%k统计迭代次数，err表示迭代精度
while abs(err)>eps
	lambda=1;%下山因子
	x2=x1-lambda*f1*(x1-x0)/(f1-f0);
	f2 = feval(fun,x2);
	while abs(f2)>=abs(f1) 
        lambda=lambda/2;  % 更新lambda
        x2=x1-lambda*f1*(x1-x0)/(f1-f0);  % 牛顿下山迭代,割线法代替求导
        f2=feval(fun,x2);
    end
    x0=x1;x1=x2;
    f0=f1;f1=f2;
    err=x1-x0;%更新迭代精度
    k=k+1;
    X(k)=x2;
end

if k>=maxiter
    error('迭代次数超限，迭代失败！')
end
x=x2;iter=k;X=X';
end

解决第一个问题

每月还款数额计算公式如图：

P:贷款本金

R:月利率

N:还款期数

月利率 = 年利率/12
所以我们有

$180\times\frac{x(1+x)^{240}}{(1+x)^{240}-1}-1.2=0$

fun=@(x)180*(x*(1+x)^240)/((1+x)^240-1)-1.2;

命令行调用函数解方程：

[x,iter,X]=newton_secant(fun,0.007,0.006)

输出：

x =
       0.00426762528564472
iter =
       4
X =
       0.00437256674949125
       0.0042721389151354
       0.00426763795820826
       0.00426762528564472

可以看到：

月利率约为 $0.427\%$

4、steffenson法

Steffeson法的导数近似方法：
$f^{'}(x_k)\approx\frac{f(x_k+f(x_k))-f(x_k)}{f(x_k)}$
则迭代公式为：
$x_{k+1}=x_k-\frac{f^{2}(x_k)}{f(x_k+f(x_k))-f(x_k)}\quad\quad (k=1,2,3...)$
废话少说，上代码：

function [x,iter,X] = steffenson(fun,x0,eps,maxiter)
% Steffenson法求解非线性方程的根
% 输入参数：
%      ---fun：迭代函数
%      ---x0：初始迭代点
%      ---eps：精度要求，默认值为1e-6
%      ---maxiter：最大迭代次数，默认值为1e4
% 输出参数：
%      ---x：非线性方程的近似根
%      ---iter：迭代次数
%      ---X：每一步迭代的结果
if nargin<2,error('输入参数至少需要2个！'),end
if nargin<3|isempty(eps),eps=1e-6;end
if nargin<4|isempty(maxiter),maxiter=1e4;end
k=0;err=1;
while abs(err)>eps;
    k=k+1;
    f0 = feval(fun,x0); % 计算x0处的函数值
    x1=x0-f0^2/(feval(fun,x0+f0)-f0);  % Steffenson法迭代公式
    err=x1-x0;
    x0 = x1; % 更新x0数值
    X(k)=x1;
end
x=x1;iter=k;X=X';

命令行调用函数解方程：

[x,iter,X]=steffenson(fun,0.007,0.006)

输出：

x =
       0.00426762553393485
iter =
     6
X =
       0.005042607730931
       0.0045032072675304
       0.00433124100792348
       0.00427709276934277
       0.00426790263879553
       0.00426762553393485

可以看到：

月利率约为 $0.427\%$ ，但是迭代次数为6次

二、非线性方程组求解

通过以下问题学习此知识点：

用牛顿法求解二元方程组的根
$\begin{array}{cc} x^2 \mathrm{cos2x}+y^2 \mathrm{sin(2y)}=1 & \\ x^3 +y^3 -6\mathrm{cos(2xy)}=-1 & \end{array}$

1、牛顿法解方程组

非线性方程组的求法有很多，此处仅对使用牛顿法求解非线性方程组的根进行学习。
将多元向量函数F(x) 在点处展开
$F\left(x\right)\approx F\left(x^{\left(k\right)} \right)+F^{\prime } \left(\left.x^{\left(k\right)} \right)\left(x-x^{\left(k\right)} \right)\right)$
其中，是F(x)的Jacobi矩阵

因此，可以得到求解非线性方程组的迭代方程
$x^{\left(k+1\right)} =x^{\left(k\right)} -{\left\lbrack F^{\prime } \left(x^{\left(k\right)} \right)\right\rbrack }^{-1} F\left(x^{\left(k\right)} \right)$
---------流程图--------

上代码：

function [x,iter,X]=newtong(fun,x0,eps,maxiter)
% Newton法求解非线性方程组的根
% 输入参数：
%      ---fun：迭代函数
%      ---x0：初始迭代点向量
%      ---eps：精度要求，默认值为1e-6
%      ---maxiter：最大迭代次数，默认值为1e4
% 输出参数：
%      ---x：非线性方程的近似解向量
%      ---iter：迭代次数
%      ---X：每一步迭代的结果
if nargin<2,error('输入参数至少需要2个！'),end
if nargin<3|isempty(eps),eps=1e-6;end
if nargin<4|isempty(maxiter),maxiter=1e4;end
k=0;err=1;
while err>eps
    k=k+1;
    [fx0,J]=feval(fun,x0);  % 求函数fun的值和jacobi矩阵
    x1=x0-J\fx0;  % 牛顿法迭代公式
    err=norm(x1-x0);
    x0=x1;
    X(k,:)=x1;
end
if k==maxiter
    error('迭代次数超限，迭代失败！')
end
x=x1;iter=k;
end


function [y,J]=fun(x)
    % 非线性方程组
    % 函数文件描述，返回函数值和jacobi矩阵
    y=[x(1)^2*cos(2*x(1))+x(2)^2*sin(2*x(2))-1;
        x(1)^3+x(2)^3-6*cos(2*x(1)*x(2))+1];
    % 求Jacobi矩阵
    syms xx yy;  % 声明符号变量
    %J=jacobian([2*xx-yy-exp(-xx);-xx+2*yy-exp(-yy)],[xx yy]);  % 求符号jacobi矩阵
    J = jacobian([xx^3*cos(2*xx)+yy^2*sin(2*yy)-1,xx^3+yy^3-6*cos(2*xx*yy)+1], [xx, yy]);
    xx = x(1);
    yy = x(2);
    J=eval(J);  % 替换
end

命令行输入：

[x,iter,X]=newtong(@fun,[5;2])

输出：

x =
          16.0945044603024
         -16.1035071010038
iter =

    98
X =
          5.10274043149926        -0.119124207216952
          5.24942127220357          2.38096639162783
          5.02977093770551         -13.5938666862748
          16.0396552014422         -8.16234689739867
          16.3648055755991         -18.4422298393681
          16.5029906700455         -16.5584665672948
          ……

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