luogu1081 开车旅行2012 D1T3 (倍增，set，O2)

题目描述

小 A 和小 B 决定利用假期外出旅行，他们将想去的城市从 1 到 N 编号，且编号较小的城市在编号较大的城市的西边，已知各个城市的海拔高度互不相同，记城市 i 的海拔高度为Hi，城市 i 和城市 j 之间的距离 d[i,j]恰好是这两个城市海拔高度之差的绝对值，即d[i,j] = |Hi− Hj|。旅行过程中，小 A 和小 B 轮流开车，第一天小 A 开车，之后每天轮换一次。他们计划选择一个城市 S 作为起点，一直向东行驶，并且最多行驶 X 公里就结束旅行。小 A 和小 B的驾驶风格不同，小 B 总是沿着前进方向选择一个最近的城市作为目的地，而小 A 总是沿着前进方向选择第二近的城市作为目的地（注意：本题中如果当前城市到两个城市的距离相同，则认为离海拔低的那个城市更近）。如果其中任何一人无法按照自己的原则选择目的城市，或者到达目的地会使行驶的总距离超出 X 公里，他们就会结束旅行。

在启程之前，小 A 想知道两个问题：

对于一个给定的 X=X0，从哪一个城市出发，小 A 开车行驶的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比值最小（如果小 B 的行驶路程为 0，此时的比值可视为无穷大，且两个无穷大视为相等）。如果从多个城市出发，小 A 开车行驶的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比值都最小，则输出海拔最高的那个城市。

对任意给定的 X=Xi和出发城市 Si，小 A 开车行驶的路程总数以及小 B 行驶的路程

总数。

输入输出格式

输入格式：
第一行包含一个整数 N，表示城市的数目。

第二行有 N 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，依次表示城市 1 到城市 N 的海拔高度，即 H1，H2，……，Hn，且每个 Hi都是不同的。

第三行包含一个整数 X0。

第四行为一个整数 M，表示给定 M 组 Si和 Xi。

接下来的 M 行，每行包含 2 个整数 Si和 Xi，表示从城市 Si出发，最多行驶 Xi公里。

输出格式：
输出共 M+1 行。

第一行包含一个整数 S0，表示对于给定的 X0，从编号为 S0的城市出发，小 A 开车行驶的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比值最小。

接下来的 M 行，每行包含 2 个整数，之间用一个空格隔开，依次表示在给定的 Si和

Xi下小 A 行驶的里程总数和小 B 行驶的里程总数。

简单点说

读入n个点，点的编号是1~n，每一个点有一个高度 $h_i$ ,并且两个点i和j之间的距离定义为 $|h_i - h_j|$
现在有个两个人A和B，A每次会跳到距离当前点的次小的点，而B会跳到距离当前点最小的点

现在有两个问题
1.要求从哪个点出发的，A和B所走的路程的比值最小，如果相等，则求序号最小的那个点

2.给出 $m$ 个询问，每一个询问给定一个 $x_i$ 个，求从这个点出发，a和b最多能走多少路程

QAQ这个题，说实话，写起来不是特别好写
最一开始看这个题
初始化是自己想到的

我们考虑对于

在排好序的序列中

距离一个点i的最小和次小的点，一定是在编号为 $i+1,i+2,i-1,i-2$ 中，所以说，我们需要一个能维护这样一个前驱和后继的东西。
自然而然想到了 set！！

QwQ虽然set在noip老爷机会T飞，但是，无伤大雅呀

首先先把所有元素插入到set里，然后按照编号来先求出从每一个点A和B下一步会走到哪个点，求完就把这个点erase掉

注意！！！！！一定要注意在地址进行++和- -时候一定不要越过 $s.end(）和 s.begin()$ 的地址，不然会RE

count函数

struct Node{
    int h,zuixiao,cixiao;
    int id;
};

Node a[maxn];

set<int> s;
map<long long ,int > mmap;
long long sa[maxn][21];
long long sb[maxn][21];
int f[maxn][21];
int x;
int n,m;
int ha[maxn],hb[maxn];

void count(int x)
{
    int tt[10];
    for (int i=1;i<=10;i++) tt[i]=2e9;
    set<int>::iterator it;
    it=s.upper_bound(a[x].h);
    if (it!=s.end())
    {
    tt[3]=*it;
    if (it!=s.find(a[x].h))
    it++;
    }
    if (it!=s.end())
    {
        if (it!=s.find(a[x].h))
      tt[4]=*it;
    }
    it=s.find(a[x].h);
    if (it!=s.begin())
    {
    it--;
    if (it!=s.find(a[x].h))
    tt[2]=*it; 
    }
    if (it!=s.begin())
    {
    it--;
    if (it!=s.find(a[x].h))
    tt[1]=*it;
    }
    int min1 = 1e9,pos1=0; 
    for (int i=4;i>=1;i--)
    {
        if (tt[i]!=2e9 && min1>=abs(tt[i]-a[x].h)) min1=abs(tt[i]-a[x].h),pos1=mmap[tt[i]];
    }
    if (pos1!=0)
    {
    a[x].zuixiao=pos1;
    }
    int min2 = 1e9,pos2=0;
    for (int i=4;i>=1;i--)
    {
        if (tt[i]!=2e9 && min2>=abs(tt[i]-a[x].h) && mmap[tt[i]]!=pos1) min2=abs(tt[i]-a[x].h),pos2=mmap[tt[i]];
    }
    if (pos2!=0)
    {
      a[x].cixiao=pos2;
    }
    //cout<<a[x].zuixiao<<" "<<a[x].cixiao<<endl;
}

这是主程序的预处理的部分

scanf("%d",&n);
  for (int i=1;i<=n;i++){
    scanf("%d",&a[i].h);
    s.insert(a[i].h);
    mmap[a[i].h]=i;
  }
  for (int i=1;i<=n;i++)
  {
     count(i);
     s.erase(a[i].h);
  }

然后我们考虑，QWQ从一个点该如何往后走呢~

emmm 直接模拟当然是会爆炸

然后发现，这个貌似可以倍增呀

$sa[i][j]$ 表示A从i这个点，跳2^j轮的距离是多少
$sb[i][j]$ 表示B从i这个点，跳2^j轮的距离是多少
$f[i][j]$ 表示从i这个点，A和B都走了2^j轮后，到哪个点

需要注意的是，由于是从A开始走，所有在 $sb[i][0]$ 初始化的时候，是i这个点出去次小的点的最小的点的距离！

这里是初始化

 for (int i=1;i<=n;i++)
  {
      if (a[i].cixiao)
        sa[i][0]=(long long)abs(a[i].h-a[a[i].cixiao].h);
      if (a[i].cixiao && a[a[i].cixiao].zuixiao)
        sb[i][0]=(long long)abs(a[a[i].cixiao].h-a[a[a[i].cixiao].zuixiao].h);// *****
      f[i][0]=a[a[i].cixiao].zuixiao;
      //cout<<f[i][0]<<endl;
  }

更新dp数组的时候
跟….LCA差不多对（或者说货车运输）

for (int j=1;j<=19;j++)
  {
    for (int i=1;i<=n;i++)
      {
        f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
        sa[i][j]=sa[i][j-1]+sa[f[i][j-1]][j-1];
        sb[i][j]=sb[i][j-1]+sb[f[i][j-1]][j-1];
      }
  }

QAQemmmmmm为了以后计算起来方便，我们先写两个函数

一个是 $getfar(now,x,ansb,ansb)$ 表示求出从now这个点开始走x轮，A走的距离，B走的距离，到哪个点

就是类似LCA跳的方式~感觉还是很值得纪念的

int getfar(int now,int x,long long &ansa,long long &ansb) //从now走x轮，最多能到哪 
{
   int len = x;
   int j=0;
   while (len)
   {
     if (len & 1)
        {
          ansa+=sa[now][j];
          ansb+=sb[now][j];
          now=f[now][j];
        }
     len>>=1;
     j++;
     if (!now) break;
   }
   return now;
}

另一个是 $getmax（x，len)$ 是求从x走len的距离

通过二分能走几轮，然后巧妙的运用刚刚getfar函数，求出A和B走的距离，看看加起来是否小于len，如果小于，则是合法

int getmax(int x,long long len)//从x走len的距离，最多能走几轮 
{ 
    int l = 0,r=n+1,ans=0;
    while (l<=r)
    {
       int mid = (l+r) >> 1;
       long long fa=0,fb=0;
       int num=getfar(x,mid,fa,fb);
       if (fa+fb>len || !num){
        r=mid-1;
       }
       else
         {
            ans=mid;
            l=mid+1;
         }
    }
    return ans;
}

至此，这个题已经解决了一大半了

对于第一个询问，我们可以暴力枚举点，然后求结果，但是求的时候，为了避免精度误差，我们可以考虑将分数转化一下

假设原来的答案是 $ansa 和 ans b$
现在的答案是 $f1和f2$

如果

$\frac {f1} {f2} < \frac {ansa}{ansb}$

则
$f1*ansb < f2*ansa$

所以更新的条件可以直接写成乘法而不是除法，减少精度误差

同时如果这两个值相等，那么我们会选择 $h_i$ 比较小那个

而对于第二个问题，就直接 $getmax$ 然后 $getfar$ 就可以

但是！！！！

一定要注意，由于是A先跳，所以在 $getfar$ 之后，要判断A是否还可以跳一步，就是

if (a[now].cixiao && f1+f2+sa[now][0]<=len)
      f1+=sa[now][0];

最后输出答案即可

那么这道题就解决啦！感觉还是很复杂的一道题！毕竟是noipD1T3

下面是整个的代码，其中还是有一些细节的

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>

using namespace std;

inline int read()
{
  int x=0,f=1;char ch=getchar();
  while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
  while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
  return x*f;
}

const int maxn = 1e5+1e2;

struct Node{
    int h,zuixiao,cixiao;
    int id;
};

Node a[maxn];

set<int> s;
map<long long ,int > mmap;
long long sa[maxn][21];
long long sb[maxn][21];
int f[maxn][21];
int x;
int n,m;
int ha[maxn],hb[maxn];

void count(int x)
{
    int tt[10];
    for (int i=1;i<=10;i++) tt[i]=2e9;
    set<int>::iterator it;
    it=s.upper_bound(a[x].h);
    if (it!=s.end())
    {
    tt[3]=*it;
    if (it!=s.find(a[x].h))
    it++;
    }
    if (it!=s.end())
    {
        if (it!=s.find(a[x].h))
      tt[4]=*it;
    }
    it=s.find(a[x].h);
    if (it!=s.begin())
    {
    it--;
    if (it!=s.find(a[x].h))
    tt[2]=*it; 
    }
    if (it!=s.begin())
    {
    it--;
    if (it!=s.find(a[x].h))
    tt[1]=*it;
    }
    int min1 = 1e9,pos1=0; 
    for (int i=4;i>=1;i--)
    {
        if (tt[i]!=2e9 && min1>=abs(tt[i]-a[x].h)) min1=abs(tt[i]-a[x].h),pos1=mmap[tt[i]];
    }
    if (pos1!=0)
    {
    a[x].zuixiao=pos1;
    }
    int min2 = 1e9,pos2=0;
    for (int i=4;i>=1;i--)
    {
        if (tt[i]!=2e9 && min2>=abs(tt[i]-a[x].h) && mmap[tt[i]]!=pos1) min2=abs(tt[i]-a[x].h),pos2=mmap[tt[i]];
    }
    if (pos2!=0)
    {
      a[x].cixiao=pos2;
    }
    //cout<<a[x].zuixiao<<" "<<a[x].cixiao<<endl;
}

int getfar(int now,int x,long long &ansa,long long &ansb) //从now走x轮，最多能到哪 
{
   int len = x;
   int j=0;
   while (len)
   {
     if (len & 1)
        {
          ansa+=sa[now][j];
          ansb+=sb[now][j];
          now=f[now][j];
        }
     len>>=1;
     j++;
     if (!now) break;
   }
   return now;
}

int getmax(int x,long long len)//从x走len的距离，最多能走几轮 
{ 
    int l = 0,r=n+1,ans=0;
    while (l<=r)
    {
       int mid = (l+r) >> 1;
       long long fa=0,fb=0;
       int num=getfar(x,mid,fa,fb);
       if (fa+fb>len || !num){
        r=mid-1;
       }
       else
         {
            ans=mid;
            l=mid+1;
         }
    }
    return ans;
}

void solve1(int x)
{
    long long ansa=1e9,ansb=0,ans=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        long long f1=0,f2=0;
        int len = getmax(i,x);
        int now = getfar(i,len,f1,f2);
        if (a[now].cixiao && f1+f2+sa[now][0]<=x){
            f1+=sa[now][0];
        }
        if (!f1) continue;
        if (ansb*f1 < ansa*f2){
            ansb=f2;
            ansa=f1;
            ans=i;  
        }
        else
        {
            if (ansb*f1 == ansa*f2 && a[ans].h<a[i].h){
                ansb=f2;
                ansa=f1;
                ans=i;
            }
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
}

int main()
{
  scanf("%d",&n);
  for (int i=1;i<=n;i++){
    scanf("%d",&a[i].h);
    s.insert(a[i].h);
    mmap[a[i].h]=i;
  }
  for (int i=1;i<=n;i++)
  {
     count(i);
     s.erase(a[i].h);
  }
  for (int i=1;i<=n;i++){
    //cout<<a[i].zuixiao<<" "<<a[i].cixiao<<endl;
  }
  for (int i=1;i<=n;i++)
  {
      if (a[i].cixiao)
        sa[i][0]=(long long)abs(a[i].h-a[a[i].cixiao].h);
      if (a[i].cixiao && a[a[i].cixiao].zuixiao)
        sb[i][0]=(long long)abs(a[a[i].cixiao].h-a[a[a[i].cixiao].zuixiao].h);// *****
      f[i][0]=a[a[i].cixiao].zuixiao;
      //cout<<f[i][0]<<endl;
  }

  for (int j=1;j<=19;j++)
  {
    for (int i=1;i<=n;i++)
      {
        f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
        sa[i][j]=sa[i][j-1]+sa[f[i][j-1]][j-1];
        sb[i][j]=sb[i][j-1]+sb[f[i][j-1]][j-1];
        //if (sb[i][j])
          //cout<<sb[i][j]<<endl;
      }
  }
  //for (int j=0;j<=log;j++)
  //{
  //    for (int i=1;i<=n;i++)
    //  {
     //      printf("%d %lld %lld\n",f[i][j],sa[i][j],sb[i][j]);
    /// }
 // }
  scanf("%d",&x);
  solve1(x);
  scanf("%d",&m);
  long long len=0;
  for (int i=1;i<=m;i++)
  {
    long long f1=0,f2=0;
    scanf("%d %lld",&x,&len);
    int round=getmax(x,len);
    int now = getfar(x,round,f1,f2);
    if (a[now].cixiao && f1+f2+sa[now][0]<=len)
      f1+=sa[now][0];  
    printf("%lld %lld\n",f1,f2);
  }
  return 0;
}

luogu1081 开车旅行2012 D1T3 (倍增，set，O2)

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