[51Nod](1352)欧拉函数 ---- 数论(扩展欧几里得求线性不定方程解的个数)

给出N个固定集合{1，N},{2,N-1},{3,N-2},…,{N-1,2},{N,1}.求出有多少个集合满足：第一个元素是A的倍数且第二个元素是B的倍数。

提示：

对于第二组测试数据，集合分别是：{1,10},{2,9},{3,8},{4,7},{5,6},{6,5},{7,4},{8,3},{9,2},{10,1}.满足条件的是第2个和第8个。

Input

第1行：1个整数T（1<=T<=50000)，表示有多少组测试数据。
第2 - T+1行：每行三个整数N，A,B（1<=N，A，B<=2147483647)

Output

对于每组测试数据输出一个数表示满足条件的集合的数量，占一行。

Input示例

2
5 2 4
10 2 3

Output示例

1
2

思路： 通过题意，很明显可以得出ax+by = N+1这个不定方程，我们可以利用扩展欧几里得求得一个 满足题意的最小正整数解x ，那么我们怎么知道这些集合中那些是满足的呢？

首先，学过扩展欧几里得算法，都知道这样一个推论，已知gcd(a,b) = 1 ，对于方程ax+by = k
所有通解x = x0+b/gcd(a,b)*t , y = y0-a/gcd(a,b)*t ，
我们把这个通解带入ax+by = k 可求得 a * x0 + lcm(a,b)*t + b * y0 - lcm(a,b)*t = k ，我们会发现，t = 0,1,2,3 ……就相当于 有多少个 lcm(a,b) 。
那么，我们利用一下这个特点，回到 a * x0 + lcm(a,b)*t + b * y0 - lcm(a,b)*t = N+1，
我们知道有N个集合，这N个集合中存在某些个集合，满足ax = i, by = N-i+1 ,
我们用(N+1- ax - 1) /lcm(a,b) 看看 里面包含了多少个lcm(a,b) 就是有多少个满足条件的集合。

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y,LL &d)
{
    if(!b) x=1,y=0,d=a;
    else exgcd(b,a%b,y,x,d),y-=(a/b)*x;
}
int main()
{
    #ifdef LOCAL
    freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL),cout.tie(NULL);
    LL a,b,x,y,d,T,n;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>n>>a>>b;
        exgcd(a,b,x,y,d);
        if((n+1)%d) {cout<<0<<endl;continue;}
        LL t = b/d;
        x = x*((n+1)/d);
        x = (x%t+t)%t;
        if(!x) x+=t; //保证x为非0正整数
        LL c = a*b/d;
        LL ans = n-(a*x);
        if(ans<0) {cout<<0<<endl;continue;}
        ans/=c;
        ans++;
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}