[欧拉函数]51nod 1040 最大公约数之和 题解

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题目大意

求$\sum_{i=1}^{n}\ gcd(i,n)$

解题分析

注意，所有gcd(x,n)最后都是n的因数。所以可以对因数分类，设$f(i)$为$gcd(x,n)==i且i<n$的正整数x，则

$$ans=\sum\ i*f[i]|i为n的因数$$

如果$gcd(x,n)=i$，则$gcd(x/i,n/i)=1$，gcd()=1就想到了欧拉函数，所以最后$f[i]=\varphi(n/i)$

复杂度：
时间：$O(\sqrt{n})$；
空间：$O(1)$；

#include<cmath>
#include<cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
int n,S,p[10005];
LL ans;
int getp(int x){
    int sum=x; for (int i=2,S=sqrt(x);i<=S;i++) if (x%i==0) {sum=sum/i*(i-1); while (x%i==0) x/=i;}
    if (x>1) sum=sum/x*(x-1); return sum;
}
int main()
{
    freopen("gcda.in","r",stdin);
    freopen("gcda.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n); S=sqrt(n); ans=0;
    for (int i=1;i<=S;i++)
        if (n%i==0){
            int t=n/i;ans+=(LL)i*getp(t);
            if (i!=t) ans+=(LL)t*getp(i);
        }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}