CEOI 2019 立方填词 题解

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题目大意： 这个没图很难说啊qwq

题解

做法真是太秀了%%%

这题首先方向很重要，不能去想枚举某条边或某个面，因为边很多，太复杂，而面又难以合并，因为要考虑 $4$ 个角。所以，这题要枚举角。

显然长度不同的词语是不能出现在同一个立方体里面的，那么就先按长度分类然后排序去重。

一个词语只有首尾的两个字母是有用的，不妨开一个数组记录一下， $e[a][b]$ 表示以 $a$ 作为首以 $b$ 作为尾的单词数（注意这里的 $a,b$ 是变量，下面同理）。然后大力枚举每个角的字母，然后利用 $e$ 统计答案，就可以得到一个 $O(61^8)$ 的做法。

考虑优化这个枚举。

先上图（图丑莫喷，能看就好）：

我们给每个角编个号，像上图那样。

假如从 $1$ 号点出发，按广度优先搜索的顺序，我们可以将图分成四层：
第一层： $~~~1$
第二层： $2~3~4$
第三层： $5~6~7$
第四层： $~~~8$

我们惊奇地发现，第一层和第三层的四个点，他们之间是没有直接的边相连的！

那么又有这样一个性质：对于三个不相连的点，肯定存在一个点与他们三个都相连。

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就像这样（其中 $A,B,C$ 三个点之间没有连边）：

我们不妨设现在有三个不相连的点 $A,B,C$ 和一个连接他们三个的点 $D$（参考上图理解），设 $f[a][b][c]$ ¹表示 往点 $A$ 上放字母 $a$，往点 $B$ 上放字母 $b$，往点 $C$ 上放字母 $c$， $A,B,C,D$ 四点之间的三条边有多少种单词放法。

可能有点奇怪，往下看可能更好理解。

这样的话，我们大力枚举在 $A,B,C,D$ 上放的字母，然后利用 $e$ 数组就可以在 $O(61^4)$ 的时间内求出 $f$ 数组。

再看回上面的问题，此时第一层和第三层一共有 $4$ 个互不相连的点，我们不妨大力枚举这四个点上的字母，设他们的字母分别为 $a,b,c,d$，那么产生的贡献就是： $p=f[a][b][c] \times f[a][b][d] \times f[a][c][d] \times f[b][c][d]$

枚举这四个字母的时间复杂度是 $O(61^4)$ 的，那么总的时间复杂度就是 $O(61^4)$。

但是他还卡常。

因为我们的复杂度是满的，所以跑的相当的慢。

考虑到 $f[a][b][c],f[a][c][b],...,f[c][b][a]$ 其实都是一样的，那么不妨设 $a\leq b \leq c$，然后只求出 $f[a][b][c]$，那么就可以节约 $\frac 5 6 \times 61^4$ 的时间。

既然 $f$ 的参数都递增了，不妨求解的时候让枚举的 $a,b,c,d$ 也递增，因为 $(b,a,c,d),(b,c,d,a)$ 这样的贡献与 $(a,b,c,d)$ 的贡献是相同的。

但是要注意，当 $a=b$ 时， $(a,b,c,d)$ 和 $(b,a,c,d)$ 这两个是相同的方案，不能重复计算，所以对于一组递增的 $(a,b,c,d)$，他产生的贡献是 $p$ 乘以 $a,b,c,d$ 的不相同排列数（这个有点数论基础都知道怎么做吧）。

剩下不明白的结合代码理解吧：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 62
#define ll long long
#define mod 998244353

int n;
vector<string>s[11];
string ss;
int ch(char x)//将字母转化为数字来存
{
	if(x>='0'&&x<='9')return x-'0';//0~9 : 0~9
	if(x>='a'&&x<='z')return x-'a'+10;//a~z : 10~35
	if(x>='A'&&x<='Z')return x-'A'+36;//A~Z : 36~61
}
ll e[maxn][maxn],f[maxn][maxn][maxn];//数组意义如上所述
ll times[maxn],ans=0;

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>ss;
		s[ss.length()].push_back(ss);
		//因为不在意阅读顺序，所以这个串反过来也能用，也要记录下来
		for(int i=0;i<ss.length()/2;i++)
		swap(ss[i],ss[ss.length()-i-1]);
		s[ss.length()].push_back(ss);
	}
	for(int i=3;i<=10;i++)
	if(s[i].size()>0)
	{
		memset(e,0,sizeof(e));//记得每次要清空
		memset(f,0,sizeof(f));
		sort(s[i].begin(),s[i].end());//排序
		for(int j=0;j<s[i].size();j++)//去重+处理e数组
		if(j==0||s[i][j]!=s[i][j-1])e[ch(s[i][j][0])][ch(s[i][j][i-1])]++;
		
		for(int a=0;a<maxn;a++)//处理f数组
		for(int b=0;b<maxn;b++)if(e[a][b]>0)
		for(int c=b;c<maxn;c++)if(e[a][c]>0)
		for(int d=c;d<maxn;d++)if(e[a][d]>0)
		f[b][c][d]=(f[b][c][d]+e[a][b]*e[a][c]%mod*e[a][d]%mod)%mod;
		
		ll p=24;
		for(int a=0;a<maxn;a++)
		{
			times[a]++;p/=times[a];//用来解决不相同排列数
			for(int b=a;b<maxn;b++)
			{
				times[b]++;p/=times[b];
				for(int c=b;c<maxn;c++)
				{
					times[c]++;p/=times[c];
					for(int d=c;d<maxn;d++)
					{
						times[d]++;p/=times[d];
						
						ans=(ans+p*f[a][b][c]%mod*f[a][b][d]%mod*f[a][c][d]%mod*f[b][c][d]%mod)%mod;
						
						p*=times[d];times[d]--;
					}
					p*=times[c];times[c]--;
				}
				p*=times[b];times[b]--;
			}
			p*=times[a];times[a]--;
		}
	}
	printf("%lld",ans);
}

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1. 还是要提醒，这里的 $a,b,c$ 是变量而不是 a,b,c 这三个字母 ↩︎