day1
【A√，D√】
水题
【H，J，K，L，M】
待补。
【B√】
题意：有一个 \(w \times h\) 的桌面，上面有 \(N(\leq 11)\) 个球，每个球有一个半径 \(r\)。现在 \(1\) 号球以 \((vx,vy)\) 的方向前进，遇到桌的边界会完全弹性碰撞。问 \(10000\) 个单位长度内，它先撞到别的哪个球。
题解：看上去要圆与圆求交。一个经典的处理方式是：可以将关键的圆看成点，别的图形相应地做变化即可。在这里，桌面边界会往里缩，其他圆的半径会增加 \(r\)。处理 \(1\) 号球的碰撞时，只需处理点的反射。
【C√】
题意：对于 \(1 \leq A \leq B \leq 10^{18}\)，记 \(k_i\) 为 \(A \sim B\) 数字中二进制第 \(i\) 位是 \(1\) 的数字个数。现在给出 \(k_i (i \leq 63)\)，判断 \((A,B)\) 的有解性，如有唯一解同时给出解。
题解：从大到小考虑 \(k_i\)。每次考察 \([A,B]\) 是否跨越了 \(2^i\) 这条分割线。如果没有跨越，那么我们知道 \([A,B]\) 是在 \([2^i,...]\) 区间里一个长度为 \(k_i\) 的区间，继续递归下去求解。如果跨越了，根据 \(k_i\)，我们可以直接定位出 \(B\) 的值（\(A\) 也可以通过二分来确定）；注意上层递归下来时，可能有 AB 长度要求，必须同时符合才行。
【E√】
题意：给出一个最多 \(1000\) 项的多项式 \(F(x)=\sum a_i x^{b_i}\)，其中 \(a_i \leq 10^{15},b_i \leq 10^9\)。已知 \(F(x)=F'(x)=0\)，求符合要求的最小正整数解 \(x\) 或输出无解。
题解：由题意可证，\(x^2 | a_k\)，其中 \(k\) 是次数最小的非零项。快速分解 \(a_k\) 后，直接枚举所有符合要求的 \(x\) 即可。check 时，可以给出一些模域；多个模域下为 \(0\) 可视为答案为 \(0\)。快速分解时，可以只枚举到 \(10^5\)，剩下的质因子只可能是 \(P,PQ,P^2\)，而只有第三者才有意义。
【F√】
题意：初始时有一个三个点的二叉树，“剪贴板”上也是这棵树。每次可以选择一个叶子，将其替换为剪贴板上的内容。每步操作完成后，可以选择将整棵树放入剪切板（不消耗步数）。给出一棵 \(N(\leq 1000)\) 个点的二叉树，问可以最少几步变成它。
题解：考虑最后一次复制后的图形。如果枚举了它的大小 \(k\)，我们可以知道它的具体形状，也可以通过树哈希在 \(O(N)\) 的时间里，判断它是否可能。还会发现一个性质时，对于这个图形之前的小图形，因为能拼成这个，一定也能拼成总体。所以首先，我们可以枚举所有 \(N-1\) 的约数 \(k-1\)，check 一遍以 \(k\) 为模板是否可行。如果枚举了最后的图形，我们要知道从初始开始最少几步到它，这可以通过对所有合法的约数做一遍预处理DP后得到。复杂度为 \(O(K^2+NK)\)，\(K\) 是 \(N\) 的约数个数。
【G】
连通性DP。
【I√】
题意：有 \(R(\leq 128)\) 行格子，每行 \(C(\leq 16)\) 个。给出 \(R\) 个长度不超过 \(C\) 的字符串，将它们依次填在每一行，使得字符串字符的相对顺序保持不变（有些位置为留空）。定义一个有字符的格子的价值为：其上下左右和它一样的格子个数。求可能的最大的总价值。
题解：很容易想到按行转移，每行最多会有 \(C_{16}^8\) 中状态。看上去状态数不多，但是显然不能支持平方的转移。比赛的时候想到了各种优化转移的方法，甚至要利用 trie，但是效果都不好。
其实只要按格子一格一格转移（类似于轮廓线DP），这种表示方法也支持快速算代价，复杂度就是 \(RC2^C\)。
day2
【A√，B】
水题/模拟题
【G，J，K】
待补
【C】
题意：给出平面上 \(N(\leq 100)\) 个点，没有三点共线的情况。要求画 \(\lceil \frac{n}{2} \rceil\) 条直线（将平面划成一些区域），使得每个点仅属于一个区域。
题解：（待验证）每次找到一条能将点集划成一样多的分界线，两侧各求一下个凸包，并求两个凸包的公切线。然后做一条将两条公切线分开的直线。
【D√】
题意：求 \(N\) 个点的 每个连通块最多只有一个环的 带标号图的个数。
题解：带标号无根树个数是 \(N^{N-2}\)，考虑如何计算带标号基环树的个数。假设一共有 \(N\) 个点，环长是 \(M\)。对除环以外的 \(N-M\) 个点做 \(prufer\) 序列。该序列最后一个点必须是环上的点（因为做到的最后一个点的父亲必然在环上），其他随意。所以方案数是 \(M \times N^{N-M-1}\)。再乘上 \(\frac{(M-1)!}{2} \times C_{N}^M\) 即为 \(N\) 个点环长为 \(M\) 的带标号基环树个数了。最后做一遍背包即可得到答案。
【F√】
题意：有三只怪兽，攻击为 \(A_i(\leq 10^9)\)，血量为 \(B_i(B_1 \leq 10^{18},B_2,B_3 \leq 100)\)。每轮开始时，所有活着的怪兽对你造成等同于它们攻击力和的伤害。第 \(i\) 轮时，你可以选择一只怪兽，对其造成 \(i\) 点伤害。怪兽血量非正时死亡。问打完所有怪兽后最少受到多少的伤害。
题解：假设每轮都在打第一只怪兽。我们可能会在某几轮，“抽空”去打另外两只。设 \(f_{i,j,k}\) 表示到了前 \(i\) 轮，二三两只怪兽分别受到了 \(j,k\) 点伤害时，我们受到的最小伤害。注意这种表示下，如果 \(k \geq B_2\) 或 \(j \leq B_3\) 也是有意义的，因为我们要根据 \(i,j,k\) 算出，我们已经对第一只怪兽造成了多少伤害了；这样也可以快速算出转移时我们每轮受到的伤害和。
当超过 \(102\) 轮后，另外两只怪兽要不已经死了，要不被留在最后再攻击。
【H√】
题意：给出两棵 \(N(\leq 10^5)\) 个点的带边权的树。求 \(\sum_{i,j} Ad_{i,j} \times Bd_{i,j} \mod 10^9+7\)。其中 \(d_{i,j}\) 表示 \(i \sim j\) 的距离和。
题解：考虑对第一棵树进行点分，每次计算经过分治中心 \(x\) 的所有 \(Ad_{i,j}\) 产生的贡献。将 \(Ad_{i,j}\) 拆成 \(Ad_{i,x}\) 和 \(Ad_{j,x}\)，每个可以分开独立算。固定一棵子树，以及子树里的一个点 \(u\)，对于所有 \((u,v)\)（\(v\) 在子树外），要计算 \(B\) 树中 \(d_{u,v}\) 的和。为了方便，可以先计算所有 \(pair\) 的距离和，再容斥地减掉 \((u,v)\) 都在子树内部的方案数。
可以在 \(B\) 树上建出 \(A\) 的虚树，两遍 \(dp\) 求出距离和。也可以先构建一棵 \(B\) 的点分树，快速求一个点到一个点集的距离和。
常数较大，可以考虑一些优化。比如，容斥过程中，没必要直接在当前层减掉子树的方案（因为这样要在虚树或者点分树里重新插入子树里的所有点）。到了下一层，本来就会有插满整棵树的过程，我们可以到下一层时再减掉。