数学基础

2、求一个三阶矩阵A的逆矩阵

基础知识：

 逆矩阵的定义：对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使，则说矩阵A是可逆的，并矩阵B称为A的逆矩阵，简称逆阵。A的逆阵记作，即若，则。

定理1：若矩阵A可逆，则；

定理2：若，则矩阵A可逆，且，其中为矩阵A的伴随阵。

当时，A称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。由上面两定理可知：A是可逆矩阵的充分必要条件是，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。

行列式某元素的余子式和代数余子式的定义：在n阶行列式中，把元所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元的余子式，记作；记，叫做元的代数余子式。

伴随矩阵的定义：行列式的各元素的代数余子式所构成的如下的矩阵：

，称为矩阵A的伴随矩阵，简称伴随阵。

伴随阵的一个性质：；

注意：伴随阵中的元素是行列式元素代数余子式，而不是余子式，其次，设行列式某一行的各元素代数余子式组成一个行向量，则在构成伴随阵时，此行向量的转置将成为伴随阵的第i列。

例子：求三阶方阵：的逆阵。

解法一：由A的行列式=1*2*3+2*4*3+3*2*1-（3*2*3+1*4*1+3*2*2）=（6+24+6）-（18+4+12）=36-34=2，知A的逆是存在的，再计算的余子式：

，得，

所以，。

解法二：基于matlab，在matlab的命令行窗口中输入矩阵A：A=[1 2 3;2 2 1;3 4 3]，回车，输入：inv(A)或A^-1，回车，所得即为结果。如下图所示：

1、现代希腊语字母表