数学理论基础

1 理论基础

下面该栏目列出一些可能会用到的已经证实的理论! 大多数的理论均来自¹.

对于 \(\forall x,y,z \in X\), 若存在映射

\[ \begin{aligned} d:\; &X \times X \rightarrow \mathbb{R}^1\\ &(x,y) \mapsto d(x,y) \end{aligned} \]

定义如下几个性质:

1. 非负性: \(d(x,y)\geq 0, d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\)
2. 对称性: \(d(x,y) = d(y,x)\)
3. 三角不等式: \(d(x,y)\leq d(x,z) + d(z,y)\)

1.1 距离空间

定义 1.1 设 \(X\) 是非空集合, 对于 \(\forall x,y,z \in X\), 若存在映射

\[ \begin{aligned} d:\; &X \times X \rightarrow \mathbb{R}^1\\ &(x,y) \mapsto d(x,y) \end{aligned} \]

同时满足非负性, 对称性, 三角不等式, 则称 \(d(x,y)\) 是元素 \(x\) 与 \(y\) 之间的距离. 在集 \(X\) 中定义了距离 \(d\) 之后, 就称 \(X\) 为距离空间, 记作 \((X,d)\). \((X,d)\) 中的元素又称为点.

设 \(A\) 是距离空间 \((X,d)\) 的子集, 则 \(A\) 按 \(X\) 中定义的距离 \(d\) 也形成一个距离空间 \((A,d)\), 称为 \((X,d)\) 的子空间, 有时我们也简称 \(A\) 是 \(X\) 的子空间.

1.1.1 由距离导出的拓扑概念

设 \(X = (X,d)\) 为距离空间, \(x_0 \in X, r > 0,\) 则

\[ B(x_0,r) = \{x\in X: d(x,x_0) < r\} \]

称为以 \(x_0\) 为中心, \(r\) 为半径的 \(r\) 球形邻域; 而

\[ \overline{B}{(x_0,r)} = \{x\in X: d(x,x_0) \leq r\} \]

称为以 \(x_0\) 为中心, \(r\) 为半径的 \(r\) 闭球.

\(S(x_0,r)=\{x\in X: d(x,x_0) = r\}\) 称为球面. 设 \(A,B \subset X,\) 则 \(d(x,B) = \inf\; \{d(x,y):y \in B\}\) 称为 \(x\) 与集 \(B\) 之间的距离; \(d(A,B) = \inf\; \{d(x,y):x, \in A,y \in B\}\) 称为集 \(A\) 与 \(B\) 之间的距离.

\(\operatorname{diam} A = \sup \{d(x,y):x,y\in A\}\) 称为集 \(A\) 的直径. 设 \(A\subset X\), 若存在球 \(B(x_0,r) \supset A,\) 则称 \(A\) 为 \(X\) 中的有界集.

定义 1.2 设 \(x_n, x_0 \in X,\) 若

\[ \lim_{n\rightarrow \infty} d(x_n,x_0) = 0 \]

即 \(\forall ε > 0, ∃ N,\) 使得 \(∀ n \geq N,\) 有 \(d(x_n,x_0) < ε\), 则称点列 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(x_0\), 记作 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} x_n = x_0\) 或 \(x_n \rightarrow x_0\,(n\rightarrow \infty)\).

1.1.2 完备性

定义 1.3 设 \(\{x_k\}\) 是距离空间 \((X,d)\) 中的点列, 若 \(∀ε>0,∃N,\) 使得 \(∀m,n \in N,\) 有 \(d(x_m,x_n) < ε,\) 则称 \(\{x_k\}\) 是 \((X,d)\) 中的柯西点列或基本点列.

定义 1.4 设 \((X,d)\) 为距离空间, \(E ⊂ X,\) 若 \(E\) 中每个柯西点列都收敛于 \(E\) 中的点, 则称 \(E\) 为完备集, 特别, 当 \(E=X\) 时, 称 \((X,d)\) 为完备距离空间.

由实数的完备性, 我们可得 \(\mathbb{R}^n\) 是完备的.

1.2 赋范线性空间

在高等代数课程中, 已经熟悉在集合 \(X\) 中引入线性运算 (\(X\) 中元素的加法和数乘运算) 就形成了线性空间. 设 \(x_1. x_2, \cdots,x_n\) 是数域 \(K\) 上线性空间的一组元素, 若存在不全为 \(0\) 的数 \(\alpha _k \in K\), 使得 \(\displaystyle\sum_{k=1}^n \alpha _kx_k = 0\), 则称 \(x_1. x_2, \cdots,x_n\) 是线性相关的, 否则, 称 \(x_1. x_2, \cdots,x_n\) 线性无关, 即若 \(\displaystyle\sum_{k=1}^n \alpha _kx_k = 0\), 则 \(\alpha _k=0\). 设 \(X\) 的子集 \(A\) 中任何有限个向量都线性无关, 则称 \(A\) 为线性无关集; 若 \(A\) 对 \(X\) 中的线性运算是封闭的, 则称 \(A\) 为 \(X\) 的线性子空间, 简称子空间.

\(\operatorname{span}A = \{y = \displaystyle\sum_{k=1}^n \alpha _kx_k:x_k\in A,\alpha _k\in K, ∀n\}\) 称为由 \(A\) 张成的子空间, 或称 \(A\) 的线性包. 设 \(A\) 是 \(X\) 的线性无关子集, 若 \(\operatorname{span}A=X\), 即对 \(∀x\in X,∃x_k \in A, \alpha _k\in K,\) 使得 \(x = \displaystyle\sum_{k=1}^n \alpha _kx_k\), 则称 \(A\) 为 \(X\) 的一组线性基 (或 Hamel 基), 称 \(A\) 的基数为 \(Z\) 的维数, 记作 \(\operatorname{dim} A\).

设 \(X, Y\) 为数域 \(K\) 上的线性空间. 若 \(T: X \rightarrow Y\) 是满单射且为线性映射, 即: 对 \(\forall x,y \in X, \alpha , \beta \in K\), 有

\[ T(\alpha x + \beta y) = \alpha Tx + \beta Ty \]

则称 \(X\) 与 \(Y\) 线性同构或代数同构. \(T\) 称为同构映射, 数域 \(K\) 上两个有限维线性空间 \(X\) 与 \(Y\) 同构的充要条件是 \(X\) 与 \(Y\) 的维数相同.

为了在线性空间中引入拓扑概念, 下面我们引入范数的定义, 通过范数来定义距离.

定义 1.5 设 \(X\) 是数域 \(K\) (实数域 \(\mathbb{R}\) 或复数域 \(\mathbb{C}\)) 上的线性空间, 若存在映射

\[ \begin{aligned} T:\;&X\rightarrow \mathbb{R}^1\\ &x\mapsto ||x|| \end{aligned} \]

满足:

• \(||x|| \geq 0,\) 且 \(||x|| = 0 \Leftrightarrow x=0\)
• \(||\alpha x|| = |\alpha |||x||, \alpha \in K\) (绝对齐性)
• \(||x+y|| \leq ||x|| + ||y||, x,y\in X\) (三角不等式)

则称 \(||x||\) 是元素 \(x\) 的范数, 定义了范数 \(||⋅||\) 的线性空间 \(X\) 称为赋范线性空间, 记作 \((X,||\cdot||)\).

若对 \(∀ x,y\in X,\) 令

\[ d(x,y) = ||x-y|| \]

则易证 \(d\) 是 \(X\) 上的距离空间, 称 \(d\) 为由范数 \(||⋅||\) 导出的距离.

定义 1.6 设 \((X,||\cdot||)\) 是赋范线性空间, \(\{x_n\}\) 是 \(X\) 中的点列, \(x \in X\), 若

\[ d(x_n,x) = ||x_n-x||\rightarrow 0(n\rightarrow \infty) \]

则称 \(\{x_n\}\) 依范数收敛于 \(x\) (或 \(\{x_n\}4\) 强收敛于 \(x\)), 记作 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} x_n = x\) 或 \(x_n \rightarrow x\,(n\rightarrow \infty)\).

完备的赋范线性空间称为 Banach 空间, 简称为 (B) 空间. 用范数刻画有界集: 若 \(A⊂ X, \displaystyle\sup_{x\in A} ||x||<\infty\), 则称 \(X\) 为有界集.

定义 1.7 设 \(\{e_n\}\) 是赋范线性空间 \((X,||\cdot||)\) 中的可数集, 若对 \(∀ x \in X,\) 在数域 \(K\) 中存在唯一确定的数列 \(\{c_k\}\), 使得

\[ ||x - \displaystyle\sum_{k=1}^n c_ke_k|| \rightarrow 0\;(n\rightarrow \infty) \]

则称 \(\{e_n\}\) 为 \(X\) 的 Schauder 基, 简称为 (S) 基, 记作

\[ x = \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} c_ke_k \]

上式称为 \(x\) 关于基 \(\{e_n\}\) 的展开式.

定义 1.8 设 \(X\) 是线性空间 \(X\) 中的子集, \(x,y\in X\), 集合 \(\{λx + (1-λ)y:0\leq λ \leq 1\}\) 称为联结 \(x,y\) 两点的线段, 记作 \([x,y]\). 若对 \(\forall x,y\in X, [x,y] \subset A,\) 则称 \(A\) 为 \(X\) 中的凸集, 而集 \(\{x=\displaystyle\sum_{k=1}^n λ_kx_k: λ_k \geq 0, \displaystyle\sum_{k=1}^n λ_k = 1\}\) 称为 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 的凸组合. 我们很容易知道 \(X\) 的线性子空间是凸集.

赋范线性空间 \((X,||\cdot||)\) 中的单位球 \(B(0,1)=\{x\in X: ||x||\leq 1\}\) 是 \(X\) 中的凸集.

1.3 内积空间

定义 1.9 设 \(X\) 是数域 \(K\) (实数域 \(\mathbb{R}\) 或复数域 \(\mathbb{C}\)) 上的线性空间, 若存在映射

\[ \begin{aligned} T:\;&X \times X \rightarrow K\\ &(x,y) \mapsto (x,y) \end{aligned} \]

满足:

• 正定性: \((x,x) \geq 0, (x,x)=0 ⇔ x=0\)
• 对第一变元线性: \((\alpha x+βy,z) = \alpha (x,z) + β(y,z); x,y,z\in X, \alpha ,β \in K\)
• 共轭对称性: \((x,y) = \overline{(y,x)}\)

则称 \((x,y)\) 为 \(x,y\) 的内积, 定义了内积的线性空间 \(X\) 称为内积空间.

定理 1 设 \(X\) 为内积空间, \(A,B4\) 为 \(X\) 中的非空子集, 则

• 若 \(x\bot y\), 则 \(||x+y||^2 = ||x||^2 = ||y||^2\) (勾股定理)
• \(A^{\bot}\) 是 \(X\) 的闭线性子空间
• \(A⊂B⇒A^{\bot} ⊃ B^{\bot}\)
• \(A ∩ A^{\bot} = \{0\}\) 或 \(∅\)
• \((\overline{A})^{\bot} = A^{\bot}; (\overline{\operatorname{span}A})^{\bot} = A^{\bot}\)
• \(X^{\bot} = \{0\}, \{0\}^{\bot} = X\)

1.3.1 最佳逼近问题

设 \(X=(X,d)\) 为距离空间, \(A\) 为 \(X\) 的非空子集, 则 \(x\) 到 \(A\) 的距离为

\[ d(x, A) = \inf \{d(x,y):y\in A\} \]

对于 \(x \in X\), 若存在 \(y_0\in A\), 使得

\[ d(x,y_0) = d(x,A) \]

则称 \(y_0\) 是 \(x\) 在集 \(A\) 中的最佳逼近元.

定理 2 (变分引理) 设 \(X\) 为内积空间, \(A\) 是 \(X\) 中非空完备凸集, 则对 \(∀ x \in X\), 存在唯一的最佳逼近元 \(y_0\in A\), 成立

\[ ||x-y_0|| = \inf \{ ||x-y||: y\in A\}. \]

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1. 匡继昌.实分析与泛函分析[M].北京:高等教育出版社.2002.8↩