归并排序
排序思想：
归并排序使用的就是分治思想，将一个大问题分解成小的子问题来解决。小的子问题解决了，大问题也就解决了。
这种将大问题分解成小问题的思想与递归很像，分治和递归的区别就是：分治是一种解决问题的处理思想，递归是一种编程技巧
如果要排序一个数组，我们先把数组从中间分成前后两部分，然后对前后两部分分别排序，再将排好序的两部分合并在一起，这样整个数组就都有序了。
归并排序常用递归来实现，可以推出归并排序的递推公式和中止条件为：
递推公式：
merge_sort(p…r) = merge(merge_sort(p…q), merge_sort(q+1…r))
终止条件：
p == r 不用再继续分解merge_sort(p…r) 表示：给下标从 p 到 r 之间的数组排序。
我们将这个排序问题转化为了两个子问题，merge_sort(p…q) 和 merge_sort(q+1…r)
其中下标 q 等于 p 和 r 的中间位置，也就是 (p+r)/2。
当下标从 p 到 q 和从 q+1 到 r 这两个子数组都排好序之后，我们再将两个有序的子数组合并在一起
这样下标从 p 到 r 之间的数据就也排好序了。
那么，两个有序的子数组又是如何合并的呢？
我们申请一个临时数组 tmp，大小与 A[p…r]相同。
我们用两个游标 i 和 j，分别指向 A[p…q]和 A[q+1…r]的第一个元素。
比较这两个元素 A[i]和 A[j]，如果 A[i]<=A[j]，我们就把 A[i]放入到临时数组 tmp，并且 i 后移一位，否则将 A[j]放入到数组 tmp，j 后移一位。
继续上述比较过程，直到其中一个子数组中的所有数据都放入临时数组中，再把另一个数组中的数据依次加入到临时数组的末尾
这个时候，临时数组中存储的就是两个子数组合并之后的结果了。最后再把临时数组 tmp 中的数据拷贝到原数组 A[p…r]中。
归并排序的执行效率
我们假设对 n 个元素进行归并排序需要的时间是 T(n)，那分解成两个子数组排序的时间都是 T(n/2)。
而merge() 函数合并两个有序子数组的时间复杂度是 O(n)。
归并排序的时间复杂度的计算公式就是：
T(1) = C； n=1时，只需要常量级的执行时间，所以表示为C。
T(n) = 2*T(n/2) + n； n>1分解计算过程：
T(n) = 2*T(n/2) + n k = 1
= 4*T(n/4) + 2*n k = 2
= 8*T(n/8) + 3*n k = 3
= 16*T(n/16) + 4*n k = 4
......
= 2^k * T(n/2^k) + k * n
......T(n) = 2^kT(n/2^k)+kn。
归并排序最后会将数组分解为n=1时，当 T(n/2^k)=T(1) 时，也就是 n/2^k=1，我们得到 k=log2n 。
我们将 k 值代入上面的公式，得到 T(n)=Cn+nlog2n 。
如果我们用大 O 标记法来表示的话，T(n) 就等于 O(nlogn)。所以归并排序的时间复杂度是 O(nlogn)。
归并排序的内存消耗
因为归并排序在合并两个有序数组为一个有序数组时，需要借助额外的存储空间。
尽管每次合并操作都需要申请额外的内存空间，但在合并完成之后，临时开辟的内存空间就被释放掉了。
在任意时刻，CPU 只会有一个函数在执行，也就只会有一个临时的内存空间在使用。
而临时内存空间最大也不会超过 n 个数据的大小，所以空间复杂度是 O(n)。
归并排序的稳定性
在合并的过程中，如果 A[p…q]和 A[q+1…r]之间有值相同的元素，我们可以先把 A[p…q]中的元素放入 tmp 数组。
这样就保证了值相同的元素，在合并前后的先后顺序不变。所以，归并排序是一个稳定的排序算法。
归并排序的代码实现
public class MergeSort {
// 归并排序算法, a是数组，n表示数组大小
public static void mergeSort(int[] a, int n) {
mergeSortInternally(a, 0, n-1);
}
// 递归调用函数
private static void mergeSortInternally(int[] a, int p, int r) {
// 递归终止条件
if (p == r) return;
// 取p到r之间的中间位置q,防止（p+r）的和超过int类型最大值
int q = p + (r - p)/2;
// 分治递归
mergeSortInternally(a, p, q);
mergeSortInternally(a, q+1, r);
// 将A[p...q]和A[q+1...r]合并为A[p...r]
merge(a, p, q, r);
//mergeBySentry(a, p, q, r);
}
private static void merge(int[] a, int p, int q, int r) {
int i = p;
int j = q+1;
int k = 0; // 初始化变量i, j, k
int[] tmp = new int[r-p+1]; // 申请一个大小跟a[p...r]一样的临时数组
while (i<=q && j<=r) {
if (a[i] <= a[j]) {
tmp[k++] = a[i++]; // i++等于i:=i+1
} else {
tmp[k++] = a[j++];
}
}
// 判断哪个子数组中有剩余的数据
int start = i;
int end = q;
if (j <= r) {
start = j;
end = r;
}
// 将剩余的数据拷贝到临时数组tmp
while (start <= end) {
tmp[k++] = a[start++];
}
// 将tmp中的数组拷贝回a[p...r]
for (i = 0; i <= r-p; ++i) {
a[p+i] = tmp[i];
}
}利用哨兵节点优化归并排序
private static void mergeBySentry(int[] arr, int p, int q, int r) {
int[] leftArr = new int[q - p + 2];
int[] rightArr = new int[r - q + 1];
for (int i = 0; i <= q - p; i++) {
leftArr[i] = arr[p + i];
}
// 第一个数组添加哨兵（最大值）
leftArr[q - p + 1] = Integer.MAX_VALUE;
for (int i = 0; i < r - q; i++) {
rightArr[i] = arr[q + 1 + i];
}
// 第二个数组添加哨兵（最大值）
rightArr[r-q] = Integer.MAX_VALUE;
int i = 0;
int j = 0;
int k = p;
while (k <= r) {
// 当左边数组到达哨兵值时，i不再增加，直到右边数组读取完剩余值，同理右边数组也一样
if (leftArr[i] <= rightArr[j]) {
arr[k++] = leftArr[i++];
} else {
arr[k++] = rightArr[j++];
}
}
}
}