概率论基础——组合分析

组合分析

  概率论中，许多问题只要通过计算某个事件发生的结果的数目就能得以解决，关于计数的数学理论通常称为组合分析，通俗来讲我认为这个东西就是“数数”，如果数都数不好那还怎么求概率。（高中学的时候叫排列组合）

1 计数基本法则

  首先来看计数基本法则，计数基本法则是许多其他“数数”的基础，日常生活中也常常要用到，只不过我们没有用专业一点儿的术语来描述它，假设有两个实验，其中试验1有 $m$种可能的结果，对应于试验1的每一个结果，试验2有 $n$种可能的结果，则这两个实验一共有 $mn$种可能的结果。这种只有两个试验的情况简直再好理解不过，进一步推广到 $r$个试验，试验1有 $n_1$种可能的结果，对应于试验1的每一种结果，试验2有 $n_2$种可能的结果，以此类推，这 $r$个试验一共有 $n_1n_2\cdots n_r$种可能的结果。
  计数基本法则的证明十分简单，尽管把所有的情况都列举出来，虽然麻烦了一点儿，不过很直观。

2 排列

  根据实际问题入手，给出三个字母 $a,b,c$现在对这三个字母进行排列，一共有多少种不同的情况呢？小学数学题嘛，一共6种情况分别是 $abc,acb,bac,bca,cab,cba$，每一种都称为一个排列。这排列数量是这么来的，第一个位置有三种可能，第一个位置确定完后第二个位置只有两种可能，最后一个位置只有一种可能，因此就是 $3*2*1=6$。推广到若一共有 $n$个元素，依据上述推理，一共有 $n*(n-1)*(n-2)*\cdots *2*1=n!$不同排列方式。（高中学的表示方法就是 $A_n^n$）
  我们现在将这个问题稍作修改，现在有6字母 $a,a,a,b,b,c$对着6个字母进行排序，一共有多少种不同的情况呢？现在将重复的字母先区分开，给个下标 $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,c$现在就变成了前面的情况，一共有 $6!=720$种情况。如果把下标去掉，则会发现有许多重复的排列结果，对于 $a$来说 $a_1,a_2,a_3$在排列中的相对位置有 $3!=6$种情况，去掉下标后这些情况完全一样， $b$同理 $2!=2$种情况，根据基本计数法则， $a$与 $b$产生的排列结果有 $6*2=12$种结果，鉴于这些结果完全没区别，因此实际的不同排列组合应该为 $720/12=60$种。老套路，推广到一般情况对于有 $n$个元素，其中有 $n_1$个元素彼此相同， $\cdots$， $n_r$个元素彼此相同，这样的不同排列方式数量为 $\cfrac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_r!}$。

3 组合

  再给出一个实际问题，从26个英文字母里面选择3个不同的英文字母有多少种不同的组，按照正常的逻辑推理，首先选第一个字母有26种可能，然后选第二个字母只剩下25种可能，再选第三个字母剩下24种可能。于是就是 $26*25*24=15600$，如果考虑顺序则到此为止。不考虑顺序就是组合的问题，这15600种结果中，我们拿出 $a,b,c$三个字母，它被拿出的顺序可能是前一节说过的6种，现在这6种情况都是同一种组合，对任意三个字母都是一样的，因此组合的数量为 $15600/6=2600$种。推广到一般情况，从 $n$个元素中找 $r$个元素，一共有 $n*(n-1)*\cdots *(n-r+1)$种取法，这些取法中的 $r$个元素根据不同的排列方式被取了 $r!$次，因此不同组合的数量应为 $\cfrac{n*(n-1)*\cdots *(n-r+1)}{r!}=\cfrac{n!}{(n-r)!r!}$种。
  现在来专业地表达组合，对于 $r\le n$，定义 $\begin{pmatrix} n\\r\end{pmatrix}=\cfrac{n!}{(n-r)!r!}$，这样就表示从 $n$个元素中一次取 $r$个的可能组合数。（高中学的是 $C_n^r$）现在考虑对这个公式变一变，试想从 $n$个元素中选取 $r$个元素，其中有一个元素 $\gamma$，所有可能的组合或包含 $\gamma$或不包含 $\gamma$，这就有了这个非常有用的恒等式：
$\begin{pmatrix} n\\r\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n-1\\r-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n-1\\r\end{pmatrix}$
组合 $\begin{pmatrix} n\\r\end{pmatrix}=\cfrac{n!}{(n-r)!r!}$经常成为二项式系数。二项式定理如下：
$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix} n\\k\end{pmatrix}x^ky^{n-k}$
二项式定理可以用数学归纳法和组合法证明，这里就不证了。

4 二项式及多项式系数

  组合 $\begin{pmatrix} n\\r\end{pmatrix}=\cfrac{n!}{(n-r)!r!}$经常成为二项式系数。二项式定理如下：
$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix} n\\k\end{pmatrix}x^ky^{n-k}$
二项式定理可以用数学归纳法和组合法证明，这里就不证了。现在考虑另一个问题，把 $n$个不同的元素分成 $r$组，每组包含的元素数量分别为 $n_1n_2\cdots n_r$其中 $\sum_{i=1}^rn_i=n$，一共有多少分法。根据组合我们可以非常简单地想到，先从 $n$中选 $n_1$个，再从剩下的 $n-n_1$中选 $n_2$个，以此类推，最后根据计数基本法则，组数就是这些的乘积：
$\begin{pmatrix} n\\n_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} n-n_1\\n_2\end{pmatrix}\cdots \begin{pmatrix} n-n_1-n_2-\cdots -n_{r-1}\\n_r\end{pmatrix} \\ =\cfrac{n!}{(n-n_1)!n_1!}*\cfrac{(n-n_1)!}{(n-n_1-n_2)!n_2!}*\cdots *\cfrac{(n-n_1-n_2-\cdots -n_{r-1})!}{0!n_r!}\\ =\cfrac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_r!}$
这和前面那个排列问题的结果是一样的。
  根据上面问题，如果 $\sum_{i=1}^rn_i=n$，则定义 $\begin{pmatrix} n\\n_1,n_2,\cdots, n_r\end{pmatrix}=\cfrac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_r!}$，表示吧 $n$个不同的元素分成大小分别为 $n_1,n_2,\cdots, n_r$的 $r$个不同组的组数。这个组合也称为多项式系数，多项式定理如下：
$(x_1+x_2+\cdots +x_r)^n=\sum_{(n_1,\cdots,n_r):n_1+\cdots+n_r=n}\begin{pmatrix} n\\n_1,n_2,\cdots, n_r\end{pmatrix}x_1^{n_1}x_2^{n_2}\cdots x_r^{n_r}$
所有 $n_i$都是非负数。

5 思考问题

  理解数学中的定义并不难，遇到实际问题如果脑子不灵活理解了定义也不会用。下面两个问题很简单，稍微思考一下就可以了：

1. 将10个小孩平均分成A、B两个组去参加两场不同的比赛，一共有多少种分法？（ $\cfrac{10!}{5!×5!}$）
2. 将10个小孩平均分成两组进行篮球比赛，一共有多少种分法？（ $\cfrac{10!/(5!×5!)}{2!}$）

参考资料：《概率论基础教程》Sheldon M.Ross