蓝桥杯2017初赛：包子凑数（完全背包问题+欧几里得定理）

[蓝桥杯2017初赛]包子凑数

• Description

小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。这家包子铺有N种蒸笼，其中第i种蒸笼恰好能放Ai个包子
每种蒸笼都有非常多笼，可以认为是无限笼。
每当有顾客想买X个包子，卖包子的大叔就会选出若干笼包子来，使得这若干笼中恰好一共有X个包子。
比如一共有3种蒸笼，分别能放3、4和5个包子。当顾客想买11个包子时，大叔就会选2笼3个的再加1笼5个的（也可能选出1笼3个的再加2笼4个的）。
当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。
比如一共有3种蒸笼，分别能放4、5和6个包子。而顾客想买7个包子时，大叔就凑不出来了。
小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。

• Input

第一行包含一个整数N。(1 <= N <= 100)
以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100)

• Output

输出一行包含一个整数代表答案。如果凑不出的数目有无限多个，输出INF。

分析

欧几里德定理：
对于不完全为 0 的整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数。那么一定存在整数 x，y 使得 gcd（a，b）=ax+by。
扩展：
如果有的包子种类的最大公约数不是1 那么凑不出来的情况就有无限多种。

剩下的用完全背包解决
dp[i]数组里存放着是数量为i个的包子数是否能凑出来

• AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int gcd(int a,int b) //递归求最大公约数
{
    return a%b==0?b:gcd(b,a%b);
}
int main()
{
    int n,a[105],dp[10005]={0},i,j,g;
    dp[0]=1;
    cin>>n;
    for(i=0;i<n;i++)
        cin>>a[i];
    g=a[0];
    for(i=1;i<n;i++)  //求所有包子笼的最大公约数
        g=gcd(g,a[i]);
    if(g!=1)
        cout<<"INF"<<endl;
    else   //完全背包问题
    {
        for(i=0;i<n;i++)
            for(j=0;j+a[i]<=10000;j++)
            {
                if(dp[j])  dp[j+a[i]]=1;
            }
        int ans=0;
        for(i=1;i<10001;i++)
            if(dp[i]==0)
                ans++;
            cout<<ans;
    }
	return 0;
}

本文参考
https://blog.csdn.net/weixin_42036647/article/details/88650654