AcWing 12. 输出01背包字典序最小的最优方案

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【输出方案】

一般而言，背包问题是要求一个最优值，如果要求输出这个最优值的方案，可以参照一般动态规划问题输出方案的方法：记录下每个状态的最优值是由状态转移方程的哪一项推出来的，换句话说，记录下它是由哪一个策略推出来的。便可根据这条策略找到上一个状态，从上一个状态接着向前推即可。

还是以 01 背包为例，方程为 $F [i, v] = max\left\{F [i − 1, v], F [i − 1, v − C_i] + W_i\right\}$。

再用一个数组 $G[i, v]$：

1. 设 $G[i, v] = 0$ 表示推出 $F [i, v]$ 的值时是采用了方程的前一项（也即 $F [i, v] = F [i − 1, v]$）
2. 设 $G[i, v] = 1$ 表示采用了方程的后一项。

注意这两项分别表示了两种策略：未选第 $i$ 个物品及选了第 $i$ 个物品。

那么输出方案的伪代码可以这样写（设最终状态为 $F [N, V ]$）：

i ← N
v ← V
while i > 0
	if G[i, v] = 0
		print 未选第 i 项物品
	else if G[i, v] = 1
		print 选了第 i 项物品
		v ← sv − Ci
	i ← i − 1

另外，采用方程的前一项或后一项也可以在输出方案的过程中根据 $F [i, v]$ 的值实时地求出来，也就是说，不必纪录 $G$ 数组，将上述代码中的 $G[i, v] = 0$ 改成 $F [i, v] = F [i − 1, v]$，
$G[i, v] = 1$ 改成 $F [i, v] = F [i − 1][v − C_i] + W_i$ 也可。

【输出字典序最小的最优方案】

原文链接：https://www.acwing.com/solution/acwing/content/2687/

题目要求输出字典序最小的解，假设存在一个包含第 $1$ 个物品的最优解，为了确保字典序最小那么我们必然要选第一个。那么问题就转化成从 $2 \sim N$ 这些物品中找到最优解。

之前的 $f(i,j)$ 记录的都是前 $i$ 个物品总容量为 $j$ 的最优解，那么我们现在将 $f(i,j)$ 定义为从第 $i$ 个元素到最后一个元素总容量为 $j$ 的最优解。接下来考虑状态转移：

$f(i,j)=max(f(i+1,j),f(i+1,j−v[i])+w[i])$

两种情况，第一种是不选第 $i$ 个物品，那么最优解等同于从第 $i+1$ 个物品到最后一个元素总容量为 $j$ 的最优解；第二种是选了第 $i$ 个物品，那么最优解等于当前物品的价值 $w[i]$ 加上从第 $i+1$ 个物品到最后一个元素总容量为 $j−v[i]$ 的最优解。

计算完状态表示后，考虑如何的到最小字典序的解。

首先 $f(1,m)$ 肯定是最大价值，那么我们便开始考虑能否选取第 $1$ 个物品呢。

• 如果 $f(1,m)=f(2,m−v[1])+w[1]$，说明选取了第1个物品可以得到最优解。

• 如果 $f(1,m)=f(2,m)$，说明不选取第一个物品才能得到最优解。

• 如果 $f(1,m)=f(2,m)=f(2,m−v[1])+w[1]$，说明选不选都可以得到最优解，但是为了考虑字典序最小，我们也需要选取该物品。

#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int f[N][N];
int v[N], w[N];
int n, m;

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
		scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
	
    
    for(int i = n ; i >= 1 ; i --)
    {
        for(int j = 0 ; j <= m ; j++)
        {
            f[i][j] = f[i + 1][j];
            if(j >= v[i])
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i + 1][j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    
    int vol = m;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
    {
        //如果是最后一个元素，特判一下，防止越界即可
        if(i == n && vol >= v[i])
        {
            printf("%d ", i);
            break;
        }
        
        if(vol <= 0)
            break;
        
        //判断下标是否越界
        if(vol - v[i]>=0 && f[i][vol] == f[i + 1][vol - v[i]] + w[i])
        {
            printf("%d ", i);
            vol -= v[i];        //选了第i个物品，剩余容量就要减小。
        }
    }
    return 0;
}