【AcWing】12. 背包问题求具体方案

背包问题求具体方案

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出 字典序最小的方案。这里的字典序是指：所选物品的编号所构成的序列。物品的编号范围是 1…N。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一行，包含若干个用空格隔开的整数，表示最优解中所选物品的编号序列，且该编号序列的字典序最小。

物品编号范围是 1…N。

数据范围

0 < N, V ≤ 1000
0 < vi, wi ≤ 1000

输入样例：

4 5
1 2
2 4
3 4
4 6

输出样例：

1 4

求具体的方案就是判断每个物品是否被选

思路：

题目要求输出字典序最小的解，假设存在一个包含第1个物品的最优解，为了
确保字典序最小那么我们必然要选第一个。那么问题就转化成从2～N这些物品中找到最优解。之前的f(i, j)记录的都是前i个物品总容量为j的最优解那么
我们现在将f(i, j)定义为从第i个元素到最后一个元素总容量为j的最优解。

状态转移方程：

f[i][j] = max(f[i + 1][j], f[i + 1][j - v[i]] + w[i])
理解：
两种情况，第一种是不选第i个物品，那么最优解等同于从第i+1个物品到最后一个元素总容量为j的最优解；第二种是选了第i个物品，那么最优解等于当前物品的价值w[i]加上从第i+1个物品到最后一个元素总容量为j−v[i]的最优解。

如果f(1,m)=f(2,m−v[1])+w[1]，说明选取了第1个物品可以得到最优解。
如果f(1,m)=f(2,m)，说明不选取第一个物品才能得到最优解。
如果f(1,m)=f(2,m)=f(2,m−v[1])+w[1]，说明选不选都可以得到最优解，但是为了考虑字典序最小，我们也需要选取该物品。

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int f[N][N];
int v[N], w[N];
int main()
{
    
    
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)  cin >> v[i] >> w[i];
    for (int i = n; i >= 1; i --) 
    {
    
    
        for (int j = 0; j <= m; j ++)
        {
    
    
            f[i][j] = f[i + 1][j];
            if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i + 1][j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    // f[1][m] 是最大价值
    int j = m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        if (j >= v[i] && f[i][j] == f[i + 1][j - v[i]] + w[i])
        {
    
    
            cout << i << ' ';
            j -= v[i]; // 选了第i个物品，剩余容量就要减小。
        }
    return 0;
}