- 煤球数目
有一堆煤球，堆成三角棱锥形。具体：
第一层放1个，
第二层3个（排列成三角形），
第三层6个（排列成三角形），
第四层10个（排列成三角形），
…
如果一共有100层，共有多少个煤球？
思路
注意到每一层的数目其实是一个1为首项，1为公差的等差数列，求一共多少个煤球，就直接相加每层的数量就可以了
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
int ans = 0;
int sum = 0;
for(int i = 1; i <= 100; i++){
ans += i;
sum += ans;
}
cout << sum << endl;
return 0;
}
//171700
- 生日蜡烛
某君从某年开始每年都举办一次生日party，并且每次都要吹熄与年龄相同根数的蜡烛。
现在算起来，他一共吹熄了236根蜡烛。
请问，他从多少岁开始过生日party的？
请填写他开始过生日party的年龄数。
思路
简单搜索
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
for(int i = 1; i <= 100; i++){
int sum = 0;
for(int j = i; sum < 236; j++){
sum += j;
if(sum == 236){
cout << i << endl;
}
}
}
return 0;
}
// 26
- 凑算式
）
这个算式中A- I 代表1~9的数字，不同的字母代表不同的数字。
比如：
6+8/3+952/714 就是一种解法，
5+3/1+972/486 是另一种解法。
这个算式一共有多少种解法？
思路
求全排列， 注意精度问题
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
int aa[10] = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
int ans = 0;
int main(){
do{
int a = aa[1], b = aa[2], c = aa[3], d = aa[4];
int e = aa[5], f = aa[6], g = aa[7], h = aa[8];
int i = aa[9];
int x = d * 100 + e * 10 + f;
int y = g * 100 + h * 10 + i;
x = a * c * y + b * y + c * x;
y = c * y;
if(x == y * 10) ans++;
}while(next_permutation(aa + 1, aa + 10));
cout << ans << endl;
return 0;
}
// 362880
- 快速排序
排序在各种场合经常被用到。
快速排序是十分常用的高效率的算法。
其思想是：先选一个“标尺”，
用它把整个队列过一遍筛子，
以保证：其左边的元素都不大于它，其右边的元素都不小于它。
这样，排序问题就被分割为两个子区间。
再分别对子区间排序就可以了。
下面的代码是一种实现，请分析并填写划线部分缺少的代码。
#include <stdio.h>
void swap(int a[], int i, int j)
{
int t = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = t;
}
int partition(int a[], int p, int r)
{
int i = p;
int j = r + 1;
int x = a[p];
while(1){
while(i<r && a[++i]<x);
while(a[--j]>x);
if(i>=j) break;
swap(a,i,j);
}
______________________;
//swap(a, p, j);
return j;
}
void quicksort(int a[], int p, int r)
{
if(p<r){
int q = partition(a,p,r);
quicksort(a,p,q-1);
quicksort(a,q+1,r);
}
}
int main()
{
int i;
int a[] = {5,13,6,24,2,8,19,27,6,12,1,17};
int N = 12;
quicksort(a, 0, N-1);
for(i=0; i<N; i++) printf("%d ", a[i]);
printf("\n");
return 0;
}
注意：只填写缺少的内容，不要书写任何题面已有代码或说明性文字。
- 抽签
X星球要派出一个5人组成的观察团前往W星。
其中：
A国最多可以派出4人。
B国最多可以派出2人。
C国最多可以派出2人。
…
那么最终派往W星的观察团会有多少种国别的不同组合呢？
下面的程序解决了这个问题。
数组a[] 中既是每个国家可以派出的最多的名额。
程序执行结果为：
DEFFF
CEFFF
CDFFF
CDEFF
CCFFF
CCEFF
CCDFF
CCDEF
BEFFF
BDFFF
BDEFF
BCFFF
BCEFF
BCDFF
BCDEF
…
(以下省略，总共101行)
#include <stdio.h>
#define N 6
#define M 5
#define BUF 1024
void f(int a[], int k, int m, char b[])
{
int i,j;
if(k==N){
b[M] = 0;
if(m==0) printf("%s\n",b);
return;
}
for(i=0; i<=a[k]; i++){
for(j=0; j<i; j++) b[M-m+j] = k+'A';
______________________; //填空位置
// f(a, k+1, m - i, b);
}
}
int main()
{
int a[N] = {4,2,2,1,1,3};
char b[BUF];
f(a,0,M,b);
return 0;
}
仔细阅读代码，填写划线部分缺少的内容。
注意：不要填写任何已有内容或说明性文字。
思路
搜索每一种可能的值，m代表还可以选几个， k代表选第几个国家
- 方格填数
如下的10个格子
+--+--+--+
| | | |
+--+--+--+--+
| | | | |
+--+--+--+--+
| | | |
+--+--+--+
（如果显示有问题，也可以参看
）
填入0~9的数字。要求：连续的两个数字不能相邻。
（左右、上下、对角都算相邻）
一共有多少种可能的填数方案？
请填写表示方案数目的整数。
注意：你提交的应该是一个整数，不要填写任何多余的内容或说明性文字。
思路
也是求全排列， 为方格打下下标， 用数组存数字，选出符合条件的结果
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int map[5][6] = {100};
int a[10] = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
bool check(){
for(int i = 1; i <= 3; i++)
for(int j = 1; j <= 4; j++)
for(int a = -1; a <= 1; a++)
for(int b = -1; b <= 1; b++){
if(abs(map[i][j] - map[a + i][b + j]) == 1) return false;
}
return true;
}
int main()
{ memset(map, 0x3f, sizeof map);
int ans = 0;
do{
int cnt = 0;
for(int i = 1; i <= 3; i++)
for(int j = 1; j <= 4; j++){
if(i == 1 && j == 1) continue;
if(i == 3 && j == 4) break;;
map[i][j] = a[cnt++];
}
if(check()) ans++;
}while(next_permutation(a, a + 10));
cout << ans << endl;
return 0;
}
//1580
- 剪邮票
如【
】, 有12张连在一起的12生肖的邮票。
现在你要从中剪下5张来，要求必须是连着的。
（仅仅连接一个角不算相连）
比如，【
】，【
】中，粉红色所示部分就是合格的剪取。
请你计算，一共有多少种不同的剪取方法。
请填写表示方案数目的整数。
注意：你提交的应该是一个整数，不要填写任何多余的内容或说明性文字。
思路
类似于二进制枚举， 这里用01的全排列模拟选择的全部情况，然后判断连通图，如果当前选择的是连通图，就结果加一
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int a[12] = {0, 0, 0 ,0 , 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1};
int map[10][10];
int ans = 0;
void dfs(int x, int y){
if(x < 1 || x > 3 || y < 1 || y > 4 || map[x][y] != 1) return;
map[x][y] = 0;
dfs(x + 1, y);
dfs(x - 1, y);
dfs(x, y + 1);
dfs(x, y - 1);
}
bool check(){
int x, y;
for(int i = 1; i <= 3; i++)
for(int j = 1; j <= 4; j++){
if(map[i][j] == 1 ){
x = i, y = j;
}
}
dfs(x, y);
bool flag = 1;
for(int i = 1; i <= 3; i++)
for(int j = 1; j <= 4; j++){
if(map[i][j] == 1 ){
flag = 0;
}
}
if(flag) return true;
else return false;
}
int main()
{
do{
for(int i = 0; i < 12; i++){
if(a[i] == 1){
map[i / 4 + 1][i - (i / 4 * 4) + 1] = 1;
}
}
if(check()) ans++;
memset(map, 0, sizeof map);
}while(next_permutation(a, a + 12));
cout << ans << endl;
return 0;
}
// 116
- 四平方和
四平方和定理，又称为拉格朗日定理：
每个正整数都可以表示为至多4个正整数的平方和。
如果把0包括进去，就正好可以表示为4个数的平方和。
比如：
5 = 0^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2
7 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2
（^符号表示乘方的意思）
对于一个给定的正整数，可能存在多种平方和的表示法。
要求你对4个数排序：
0 <= a <= b <= c <= d
并对所有的可能表示法按 a,b,c,d 为联合主键升序排列，最后输出第一个表示法
程序输入为一个正整数N (N<5000000)
要求输出4个非负整数，按从小到大排序，中间用空格分开
例如，输入：
5
则程序应该输出：
0 0 1 2
再例如，输入：
12
则程序应该输出：
0 2 2 2
再例如，输入：
773535
则程序应该输出：
1 1 267 838
资源约定：
峰值内存消耗 < 256M
CPU消耗 < 3000ms
思路
利用HASH表优化循环
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <map>
using namespace std;
map<int, int> ca;
int n;
int main(){
scanf("%d", &n);
for(int c = 0; c * c <= n / 2; c++){
for(int d = c; c * c + d * d <= n; d++){
if(ca.find(c * c + d * d) == ca.end())
ca[c * c + d * d] = c;
}
}
for(int a = 0; a * a <= n / 4; a++){
for(int b = a; b * b + a * a <= n / 2; b++){
int x = a * a + b * b;
x = n - x;
if(ca.find(x) != ca.end()){
int c = ca[x];
int d = n - a * a - b * b - c * c;
d = (int)sqrt(d);
printf("%d %d %d %d\n", a, b, c, d);
goto flag;
}
}
}
flag : return 0;
}
- 交换瓶子
有N个瓶子，编号 1 ~ N，放在架子上。
比如有5个瓶子：
2 1 3 5 4
要求每次拿起2个瓶子，交换它们的位置。
经过若干次后，使得瓶子的序号为：
1 2 3 4 5
对于这么简单的情况，显然，至少需要交换2次就可以复位。
如果瓶子更多呢？你可以通过编程来解决。
输入格式为两行：
第一行: 一个正整数N（N<10000）, 表示瓶子的数目
第二行：N个正整数，用空格分开，表示瓶子目前的排列情况。
输出数据为一行一个正整数，表示至少交换多少次，才能完成排序。
例如，输入：
5
3 1 2 5 4
程序应该输出：
3
再例如，输入：
5
5 4 3 2 1
程序应该输出：
2
资源约定：
峰值内存消耗 < 256M
CPU消耗 < 1000ms
代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
int n, ans;
int a[10010];
int main(){
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", a + i);
for(int i = 1; i <= n; i++){
if(a[i] != i){
swap(a[i], a[a[i]]);
ans++;
}
}
cout << ans << endl;
}
- 最大比例
X星球的某个大奖赛设了M级奖励。每个级别的奖金是一个正整数。
并且，相邻的两个级别间的比例是个固定值。
也就是说：所有级别的奖金数构成了一个等比数列。比如：
16,24,36,54
其等比值为：3/2
现在，我们随机调查了一些获奖者的奖金数。
请你据此推算可能的最大的等比值。
输入格式：
第一行为数字 N (0<N<100)，表示接下的一行包含N个正整数
第二行N个正整数Xi(Xi<1 000 000 000 000)，用空格分开。每个整数表示调查到的某人的奖金数额
要求输出：
一个形如A/B的分数，要求A、B互质。表示可能的最大比例系数
测试数据保证了输入格式正确，并且最大比例是存在的。
例如，输入：
3
1250 200 32
程序应该输出：
25/4
再例如，输入：
4
3125 32 32 200
程序应该输出：
5/2
再例如，输入：
3
549755813888 524288 2
程序应该输出：
4/1
资源约定：
峰值内存消耗 < 256M
CPU消耗 < 3000ms
思路
枚举法， 找出合法的结果。
代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long ll;
struct node{
ll x, y;
node(ll a, ll b): x(a), y(b){
ll ans = gcd(x, y);
x /= ans;
y /= ans;
}
ll gcd(ll a, ll b){
if(b == 0) return a;
return gcd(b, a % b);
}
};
vector<node> ra;
int n;
ll a[110];
map<ll, map<ll, ll> > Pow;
map<ll, map<ll, ll> > Log;
void init(){
for (int i = 2; i < 1e6; i++) {
ll ans = (ll)i * i;
int pow = 2;
while(ans < 1e12){
Pow[ans][pow] = i;
Log[ans][i] = pow;
pow++;
ans *= i;
}
}
}
ll extract(ll x,ll pow){
if(pow == 1) return x;
if(x == 1) return 1;
if(Pow[x].find(pow) != Pow[x].end())
return Pow[x][pow];
return -1;
}
ll getpow(ll ans, int i){
if(ans == i) return 1;
if(Log[ans].find(i) != Log[ans].end())
return Log[ans][i];
return -1;
}
int main(){
init();
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", a + i);
sort(a + 1, a + 1 + n);
int cnt = 0;
for(int i = 1; i < n; i++){
if(a[i + 1] != a[i]){
ra.push_back(node(a[i + 1], a[i]));
node ans = ra[cnt++];
}
}
for(int i = 1; i <= 40; i++){
node ans = ra[0];
ll x = ans.x;
ll y = ans.y;
x = extract(x, i);
y = extract(y, i);
if(x == -1 || y == -1) continue;
bool flag = true;
for(int j = 1; j < ra.size(); j++){
ll a = ra[j].x;
ll b = ra[j].y;
ll a1 = getpow(a, x);
ll a2 = getpow(b, y);
if(a2 == 1 && y == 1) a2 = a1;
if(a1 != a2 || a1 == -1 || a2 == -1){
flag = false;
}
}
if(flag){
node ans = node(x, y);
printf("%lld/%lld", ans.x, ans.y);
return 0;
}
}
return 0;
}
