蓝桥杯 算法提高 JOE的算数 (快速幂取模)

JOE的算数

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问题描述
　　有一天，JOE终于不能忍受计算a^ b%c这种平凡的运算了。所以他决定要求你写一个程序，计算a^b%c。

提示：若b为奇数,，a^ b=(a^ (b/2))^ 2*a，否则a^ b=(a^ (b/2))^2。
输入格式
　　三个非负整数a,b,c；
输出格式
　　一个整数ans，表示a^b%c；
样例输入
7 2 5
样例输出
4
数据规模和约定
　　30% a <= 100, b <= 10^4, 1 <= c <= 100
　　60% a <=10^4, b <= 10^5, 1 <= c <= 10^4
　　100% a <=10^6, b <= 10^9, 1 <= c <= 10^6

解题思路
本题是快速幂取模的裸题。
幂指数b可能达到10^9，所以用for循环逐个做乘法肯定会超时，而且运算结果是个天文数字。根据题目给的提示，可以每一次都把b降低一倍，这也就是快速幂算法，可以把时间复杂度降低为O(log n)。
根据数学运算法则，b为偶数时：a^ b=(a^ (b/2))^ 2 =(a^2) ^b/2
b为奇数时: a^ b=((a^ (b/2))^ 2)*a=((a^2) ^b/2) *a
比如
记A为a，则

1. a ^ 11= A ^ 11=((A^2) ^5) *A 此时 A^2 为新的底数，记为B，11/2=5为新的指数。
2. ((A^2) ^5)=B ^5=((B ^2) ^2) * B 同理 B ^2 即a ^4 是新的底数，记为C，新的指数是5/2=2
3. ((B ^2) ^2)=(( C) ^ 2)=((C ^2) ^1) 继续 C ^2 即 a ^8 是新的底数，记为D，新的指数为2/2=1。
4. ((C ^2) ^1)=((D) ^ 1)=((D ^ 2) ^ 0) * D 此时指数为1/2=0，结束迭代。

即 a ^ 11=A * B * C=a ^1 * a ^ 2 * a ^ 8
从上面可以得到启发：
1.A B C D都各自是前面的平方，所以每一轮迭代用tmp=tmp* tmp 来模拟这个过程。
2*.只有当指数为奇数的时候，末尾才要补乘以底数。(上面已加粗显示)
用二进制很好理解，把b转换为二进制数，二进制每一位的权值都是前一位的两倍，对应着tmp*tmp，例如11(10)=1011(2)=2 ^ 3 +2 ^ 1 + 2 ^ 0 =8 + 2 + 1 。
还要注意取模，根据模运算的性质，得 a ^ b mod c = ((a mod c) ^ b) mod c

#include<stdio.h>
using namespace std;

int main(){
	long long int a,b,c;
	long long int tmp=1;
	long long int result=1;
	scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
	
	tmp=a;	
	while(b){
		if(b&1)			//判断为奇数还是偶数
			result=(tmp*result)%c;
		tmp=(tmp*tmp)%c;
		b=b>>1;			//右移一位，相当于除以二
	}
	printf("%lld",result);
	
	return 0;	
}