LeetCode69-x的平方根

英文链接：https://leetcode.com/problems/sqrtx/

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题目详述

实现 int sqrt(int x) 函数。

计算并返回 x 的平方根，其中 x 是非负整数。

由于返回类型是整数，结果只保留整数的部分，小数部分将被舍去。

示例 1:

1 2	输入: 4 输出: 2

示例 2:

1 2 3 4

输入: 8 输出: 2 说明: 8 的平方根是 2.82842..., 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

题目详解

一个非负整数 x 的平方根一定在 0~x 之间。可以运用二分查找。由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。故最终平方根 r 必满足 r * r <= x，(r + 1) * (r + 1) > x。易知当 x <= 1，它的平方根就是它本身。

• 二分的下限为 0。
• 二分的上限为 x。
• 终止条件为 r * r <= x && (r + 1) * (r + 1) > x，即 r <= x / r && (r + 1) > x / (r + 1)，使用除法防止 int 型 溢出。

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public class { public int mySqrt(int x) { if (x <= 1) { return x; } int lo = 1; int hi = x; while (true) { int mid = lo + (hi - lo) / 2; if (mid > x / mid) { hi = mid - 1; } else { if (mid + 1 > x / (mid + 1)) { return mid; } lo = mid + 1; } } } }

当然，也可以换一种方式写二分。在循环条件为 lo <= hi 并且循环退出时，hi 总是比 lo 小 1，因此最后的返回值应该为 hi 而不是 lo。对于 8，退出时 hi = 2，lo = 3，。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 大专栏  LeetCode69-x的平方根="line">14 15 16 17 18 19 20 21 22

public class { public int mySqrt(int x) { if (x <= 1) { return x; } int lo = 0; int hi = x; while (lo <= hi) { int mid = lo + (hi - lo) / 2; int sqrt = x / mid; if (mid < sqrt) { lo = mid + 1; } else if (mid > sqrt) { hi = mid - 1; } else { return mid; } } return hi; } }

更好的方式是使用牛顿迭代法。

• 构造 f(x) = x * x - a。
• 则 x_n+1 = x_n - f(x) / f’(x)。
• x_n+1 = ( x_n + a / x_n ) / 2。

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public class { public int mySqrt(int x) { long r = x; while (r * r > x) { r = (r + x / r) / 2; } return (int) r; } }

实际上就是找到平方小于等于 x 的最后一个数。

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public class { public int mySqrt(int x) { int l = 1, r = x; while (l < r) { int mid = l + r + 1 >>> 1; if (1L * mid * mid <= x) l = mid; else r = mid - 1; } return r; } }