首先来看滤波器模型。当我们假设了马尔可夫性，从数学角度会发生哪些变化呢？首先，当前时刻状态只和上一个时刻有关，上部分等式右侧第一部分可进一步简化：
这里，由于 k 时刻状态与 k − 1 之前的无关，所以就简化成只与和
有关的形式，与 k 时刻的运动方程对应。第二部分可简化为：
这是考虑到 k 时刻的输入量 与 k − 1 时刻的状态无关，所以我们把
拿掉。可以看到，这一项实际是 k − 1 时刻的状态分布。于是，这一系列方程说明了，我们实际在做的是“如何把 k − 1 时刻的状态分布推导至 k 时刻”这样一件事。也就是说，在程序运
行期间，我们只要维护一个状态量，对它进行不断地迭代和更新即可。进一步，如果假设状态量服从高斯分布，那我们只需考虑维护状态量的均值和协方差即可。
我们从形式最简单的线性高斯系统开始，最后会得到卡尔曼滤波器。线性高斯系统是说，运动方程和观测方程可以由线性方程来描述：
并假设所有的状态和噪声均满足高斯分布。记这里的噪声服从零均值高斯分布：
为了简洁省略了 R 和 Q 的下标。现在，利用马尔可夫性，假设我们知道了 k − 1时刻的后验（在 k − 1 时刻看来）状态估计：
和它的协方差
，现在要根据 k 时刻的输入和观测数据，确定 的后验分布。为区分推导中的先验和后验，我们在记号上作一点区别：以尖帽子
表示后验，以横线
表示先验分布，请不要混淆。
卡尔曼滤波器的第一步，通过运动方程确定的先验分布。根据高斯分布的性质，显然有：
这一步称为预测，它显示了如何从上一个时刻的状态，根据输入信息（但是有噪声），推断当前时刻的状态分布。这个分布也就是先验。记这里的：
这非常自然。另一方面，由观测方程，我们可以计算在某个状态下，应该产生怎样的观测数据：
为了得到后验概率，我们想要计算它们的乘积，也就是由式（10.5）给出的贝叶斯公式。然而，虽然我们知道最后会得到一个关于的高斯分布，但计算上是有一丁点儿麻烦的，我们先把结果设为
∼ N(ˆ x k ,P k )，那么：
稍微用点讨巧的方法。既然我们已经知道等式两侧都是高斯分布，那就只需比较指数部分即可，而无须理会高斯分布前面的因子部分。指数部分很像是一个二次型的配方，我们来推导一下。首先把指数部分展开，有 ：
为了求左侧的
和
，我们把两边展开，并比较的二次和一次系数。对于二次系数，有：
该式给出了协方差的计算过程。为了便于后边列写式子，定义一个中间变量：
根据此定义，在左右各乘
，有：
于是有：
然后再比较一次项的系数，有：
整理（取系数并转置）得：
两侧乘以
并代入 得：
于是我们又得到了后验均值的表达。总而言之，上面的两个步骤可以归纳为“预测”（Predict）和“更新”（Update）两个步骤：
至此，我们推导了经典的卡尔曼滤波器的整个过程。事实上卡尔曼滤波器有若干种推导方式，而我们使用的是从概率角度出发的最大后验概率估计的形式。我们看到，在线性高斯系统中，卡尔曼滤波器构成了该系统中的最大后验概率估计。而且，由于高斯分布经过线性变换后仍服从高斯分布，所以整个过程中我们没有进行任何的近似。可以说，卡尔曼滤波器构成了线性系统的最优无偏估计。
