趣谈？？匈牙利算法（二部图匹配算法，最大匹配图）

趣谈匈牙利算法

这是来自一个媒婆说亲的故事
相传在很久很久以前，还是在女权社会的时候，有一个很厉害的媒婆，只要她说的亲，就没有不成功的…

​ 媒婆的生意是非常火爆的，这不，她现在手里就握着很多男孩子的信息，就准备去给各位女孩子挑了(毕竟女权社会嘛，男孩子的意见不重要)。

​ 这天媒婆准备给四个女孩安排相亲，同时手里有四个男孩子的信息，这四个女孩子的名字分别是：汉库克，娜美，罗宾还有如花。四个男孩子分别是：路飞，索隆，香吉士还有园子。

​ 几个女孩看了一下几个男孩子的信息后，几位女孩子心想：汉库克想我只要路飞。娜美想我可以是索隆还有香吉士，罗宾想我可以路飞，索隆和香吉士都可以，如花看了一下说，啊都好帅我全要！

​ 这时候媒婆问汉库克：有喜欢的人吗？

​ 汉库克：有，路飞

​ 媒婆：行，路飞还没人要，给你了！

​ 然后媒婆就去找娜美:你呢，喜欢谁？

​ 娜美：索隆

​ 媒婆：行，索隆还没人要，给你了！

​ 然后媒婆去找罗宾了：姑娘可有喜欢的人啊？

​ 罗宾：路飞啊！

​ 媒婆心想：糟糕，这个已经有人要了

​ 于是媒婆就跑去问汉库克：路飞罗宾也想要，你可不可以选 其他人。

​ 汉库克：不行!老娘只要路飞！！！

​ 媒婆只好去跟罗宾说：对不起，路飞已经有人要了，要不你选 另外的？

​ 罗宾：那行，索隆也行。

​ 媒婆心想：卧槽，索隆也有人要了啊

​ 媒婆只好又去找娜美了：罗宾说她也想要索隆，你还有喜欢的 吗？

​ 娜美：那香吉士？

​ 媒婆：哈哈，行，这个没人要，给你了

​ 媒婆很是高兴的去跟罗宾说：我给你谈妥了，索隆就给你了

​ 来到如花问：你呢，喜欢谁？

​ 如花：路飞。

​ 媒婆心想：这肯定不行

​ 但还是去问一下汉库克：你能否再考虑一下其他人？

​ 汉库克：滚

​ 媒婆：得嘞

​ 媒婆又去找如花说：这个不行，选其他的

​ 如花：那索隆

​ 媒婆心想：这场景似曾相识啊？？

​ 又跑去问罗宾（因为之前已经把索隆许配给罗宾了嘛）

​ 。。。

​ 罗宾又重复了一下路飞、香吉士（索隆呢？媒婆让另选了),发现 并无法妥协(因为路飞汉库克不让啊，香吉士娜美不让，娜美不 让是索隆不能选了，路飞汉库克不让啊)

​ 于是如花又得另选了。

​ 如花说：香吉士也行

​ 媒婆又跑去问娜美了（因为前面已经把香吉士改配给娜美了）

​ 。。。

​ 发现并无法妥协。

​ 于是如花只能试一下最后的园子了

​ 没想到媒婆说：可以，这个就给你了！

​ 这就是整个算法流程了，于是最后媒婆说的姻缘就是：

​ 汉库克–路飞

​ 娜美–香吉士

​ 罗宾–索隆

​ 如花–园子

​ 没什么比这更让人满意的了，媒婆几桩婚事都说成了。

​ 但常常事情没有那么顺利，当给很多个女孩子说亲时，每个女 孩子都会有特定喜欢的人，有时候就很难调节了，媒婆就只能 牺牲小部分人，成全最多人。

​ 那告诉你每个女孩子都喜欢谁，你能最多撮合几对呢？这就 是匈牙利算法的事情了

​ 我们来回顾整个故事：

​ 假设我们有一个函数，参数是女孩，函数的工作就是给这个女孩选夫婿。

​ 一开始汉库克和娜美选的人都是名花无主，自然直接配对了。（没人要，直接匹配，自然就让多一个人满意了，所以是最好的选择）

​ 但到了罗宾时，选了路飞时，发现路飞有人要了，罗宾这个后来的人非常强硬，我不管，我就要路飞，于是递归到让路飞之前配对过的人（即汉库克）重新选，但汉库克只有一个喜欢的人，没办法，满足罗宾的话，就不能满足汉库克，所以这并不能让多一个人满足（显然汉库克无法调节，但罗宾可能还有喜欢的人，所以维持现状是最好的选择）

​ 然后汉库克又选了索隆，发现索隆已经有人要了，同样递归到索隆之前配对过的人（即娜美）重新选，现在函数的主体是娜美了，娜美除了索隆可以选其他喜欢的人（因为索隆相当于暂时许配给罗宾了），同样娜美又从第一个喜欢的人选起，即路飞（注意：这时候只知道索隆不能选）同样发现路飞有人了，所以同样迭代到汉库克（即前面路飞匹配过的人），所以现在函数的主体是汉库克，现在汉库克除了索隆和路飞，可以选择其他喜欢的人，没了这两个人后，汉库克无法选到其他喜欢的人，所以告诉上一层的人：我无法妥协，你找其他人吧。于是现在函数主体回到了娜美

娜美继续往下找喜欢的人，索隆不能选了，于是选到了香吉士，自然就将索隆匹配给罗宾了。(显然娜美在没有索隆后仍能满意，索隆给罗宾也能使罗宾满意，所以娜美的妥协是让多一个人满意，也是最好的选择)

​ 可以发现这是一个递归的过程，遇到喜欢的人，能上就上，不能上就让已经匹配过的那个女孩妥协重新选，匹配过的女孩要是选到的男孩子也冲突，就继续往下妥协，直到找到能上的人，就递归回去说我可以妥协了，这个让给你，一直到第一层，这样就可以多一个人满足了。如图所示，深色黑线代表之前匹配过的

罗宾—索隆**------------------** 娜美-----香吉士

妥协后变成

罗宾**----------------------** 索隆-----娜美 **----------------------**香吉士

从只有一对满意变成两对满意，皆大欢喜。

代码解释：

bool finds(int x)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!isp[i]&&girl[x][i])//girl[x][i]为一代表女孩x喜欢男孩i。isp[i]代表男孩i筛选过了，不能选或者选了后肯定冲突且无法妥协。
        {
            isp[i]=1;
            if(!boy[i]||finds(boy[i]))//能上就上，即男孩i等于零还没有人匹配，不能上就让男孩i匹配过的女孩boy[i]重新选，如果能妥协就是真，否则即是假，假的话女孩就得选下一个喜欢的人
            {
                boy[i]=x;
 //这代表已经为女孩x已经选到了男孩i，即使之前把男孩i配给其他女孩，但能到这一步，说明那个女孩已经匹配到另一个喜欢的人了
                return true;
            }
        }
    }
    return false ;
}

这个是主函数里面的代码：

for(int i=1;i<=m;i++)
  {
      memset(isp,false,sizeof isp);//注意：isp的作用更多体现在暂时不能选的人，如罗宾想要索隆，娜美就暂时不能要索隆一样，所以每次都要清零。
      if(finds(i))sum++;
  }

匈牙利算法

给定一个集合 $X$,一个集合 $Y$。

集合 $X$内元素不可以互相匹配， $Y$也一样。

告诉你集合 $X$到 $Y$的可能匹配，问最大匹配图，最终的匹配图只能是 $X$到 $Y$的一一对应。

比如 $X$集合是男孩， $Y$集合是女孩

可能的匹配是

$boy_1--girl_1$

$boy_1--girl_3$

$boy_2--girl_2$

$boy_2--girl_3$

$boy_3--girl_1$

则最大匹配图可以是(可能不唯一)

$boy_1--girl_3$

$boy_2--girl_2$

$boy_3--girl_1$

基本思想就是：当前女孩( $girl_x$)找到她心仪的男孩子，如果发现这个男孩子已经跟其他女孩子(如 $girl_k$)匹配了，就告诉 $girl_k$说你去找其他男孩子吧，这个男孩我要了，如果 $girl_k$能找到其他男孩子，那就皆大欢喜， $girl_k$就把 $girl_x$喜欢的男孩子让给 $girl_x$ 了，可是如果 $girl_k$找不到其他男孩子，那凡事有个先来后到， $girl_x$就只能找下一个心仪的男孩子了。所以这是一个迭代的妥协过程。只有在能找到更大匹配图的时候才会妥协，因为没有哪个女孩子会拱手让人导致自己单身一个。

所以每次加入一个女孩，我们的目的是找到当前最优的匹配方案。即尽最大努力让更多的女孩满意

所以当加入完所有的女孩子，就能得到最大的匹配图了，即能知道能使最多多少个女孩子满意。

查找能不能找到增广路，即 $girl_x$加入竞争后能不能扩大当前匹配图代码

bool finds(int x)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!isp[i]&&girl[x][i])//girl[x][i]表示girl_x能否与boy_i匹配，isp[i]=1表示通过改点无法找到增广路。
        {
            isp[i]=1;
            if(!boy[i]||finds(boy[i]))
            {
                boy[i]=x;
                return true;
            }
        }
    }
    return false ;
}

for(int i=1;i<=m;i++)
  {
      memset(isp,false,sizeof isp);
      if(finds(i))sum++;
  }

例题：
HDU2063
代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define endl '\n'
#define rep(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define per(i,r,l) for(int i=r;i>=l;i--)
const int MX=5e2+7;
const int p=9973;
const int M=12;
const int mod=1e9+7;
using namespace std;
ll qpow(ll a,ll b,ll MOD=mod){for(ll ans=1;;a=a*a%MOD,b>>=1){if(b&1)ans=ans*a%MOD;if(!b)return ans;}}
ll inv(ll a,ll MOD=mod){return qpow(a,MOD-2,MOD);}
ll __gcm(ll a,ll b){return a*b/__gcd(a,b);}
int boy[MX],girl[MX][MX];
bool isp[MX];
int n;
bool finds(int x)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {

        if(!isp[i]&&girl[x][i])
        {
            isp[i]=1;
            if(!boy[i]||finds(boy[i]))
            {
                boy[i]=x;
                return true;
            }
        }
    }
    return false ;
}
int main()
{
  ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);
  int k,m;

  while(cin>>k){
    if(k==0)break;
  cin>>m>>n;
  rep(i,1,m)rep(j,1,n)girl[i][j]=0;
  rep(i,1,n)boy[i]=0;
  for(int i=1;i<=k;i++)
  {
      int a,b;
      cin>>a>>b;
      girl[a][b]=1;
  }
  int sum=0;

  for(int i=1;i<=m;i++)
  {
      memset(isp,false,sizeof isp);
      if(finds(i))sum++;
  }
  cout<<sum<<endl;
  }
}