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一个无向图中有N个顶点,若所有顶点的度数大于等于N/2,则哈密顿回路一定存在.(N/2指的是⌈N/2⌉,向上取整)，用
——这就是Dirac定理。
在Dirac定理的前提下构造哈密顿回路
过程:
1:任意找两个相邻的节点S和T,在其基础上扩展出一条尽量长的没有重复结点的路径.即如果S与结点v相邻,而且v不在路径S -> T上,则可以把该路径变成v -> S -> T,然后v成为新的S.从S和T分别向两头扩展,直到无法继续扩展为止,即所有与S或T相邻的节点都在路径S -> T上.
2:若S与T相邻,则路径S -> T形成了一个回路.
3:若S与T不相邻,可以构造出来一个回路.设路径S -> T上有k+2个节点,依次为S, v1, v2, ..., vk, T.可以证明存在节点vi(i属于[1, k]),满足vi与T相邻,且vi+1与S相邻.找到这个节点vi,把原路径变成S -> vi -> T -> vi+1 -> S,即形成了一个回路.
4:到此为止,已经构造出来了一个没有重复节点的的回路,如果其长度为N,则哈密顿回路就找到了.如果回路的长度小于N,由于整个图是连通的,所以在该回路上,一定存在一点与回路之外的点相邻.那么从该点处把回路断开,就变回了一条路径,同时还可以将与之相邻的点加入路径.再按照步骤1的方法尽量扩展路径,则一定有新的节点被加进来.接着回到路径2.
证明:
可利用鸽巢原理（抽屉原理）证明.
可参考资料
多组输入，别忘记初始化
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <limits>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <bitset>
//#include <unordered_map>
//#include <unordered_set>
#define lowbit(x) ( x&(-x) )
#define pi 3.141592653589793
#define e 2.718281828459045
#define INF 0x3f3f3f3f
#define HalF (l + r)>>1
#define lsn rt<<1
#define rsn rt<<1|1
#define Lson lsn, l, mid
#define Rson rsn, mid+1, r
#define QL Lson, ql, qr
#define QR Rson, ql, qr
#define myself rt, l, r
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned int uit;
typedef long long ll;
const int maxN = 155;
int ans[maxN], N, M;
inline void reverse(int l, int r) //将l到r部分翻转
{
while(l < r)
{
swap(ans[l], ans[r]);
l++; r--;
}
}
bool vis[maxN], mp[maxN][maxN];
void Hamilton()
{
for(int i=1; i<=N; i++) vis[i] = false;
int s = 1, t;//初始化取s为1号点
int have_node = 2;
int i, j;
int w;
for(i = 1; i <= N; i++) if(mp[s][i]) break;
t = i;//取任意邻接与s的点为t
vis[s] = vis[t] = true;
ans[0] = s; ans[1] = t;
while(true)
{
while(true) //从t向外扩展
{
for(i = 1; i <= N; i++){
if(mp[t][i] && !vis[i]){
ans[have_node++] = i;
vis[i] = true;
t = i;
break;
}
}
if(i > N) break;
}
w = have_node - 1;//将当前得到的序列倒置,s和t互换,从t继续扩展,相当于在原来的序列上从s向外扩展
i = 0;
reverse(i, w);
swap(s, t);
while(true) //从新的t继续向外扩展,相当于在原来的序列上从s向外扩展
{
for(i = 1; i <= N; i++){
if(mp[t][i] && !vis[i]){
ans[have_node++] = i;
vis[i] = true;
t = i;
break;
}
}
if(i > N) break;
}
if(!mp[s][t]) //如果s和t不相邻,进行调整
{
for(i = 1; i < have_node - 2; i++) //取序列中的一点i,使得ans[i]与t相连,并且ans[i+1]与s相连
if(mp[ans[i]][t] && mp[s][ans[i + 1]])break;
w = have_node - 1;
i++;
t = ans[i];
reverse(i, w); //将从ans[i +１]到ｔ部分的ans[]倒置
} //此时s和t相连
if(have_node == N) break; //如果当前序列包含n个元素,算法结束
for(j = 1; j <= N; j++) //当前序列中元素的个数小于n,寻找点ans[i],使得ans[i]与ans[]外的一个点相连
{
if(vis[j]) continue;
for(i = 1; i < have_node - 2; i++)if(mp[ans[i]][j])break;
if(mp[ans[i]][j]) break;
}
s = ans[i - 1];
t = j; //将新找到的点j赋给t
reverse(0, i - 1); //将ans[]中s到ans[i-1]的部分倒置
reverse(i, have_node - 1); //将ans[]中ans[i]到t的部分倒置
ans[have_node++] = j; //将点j加入到ans[]尾部
vis[j] = true;
}
if(have_node < N || !mp[s][t]) printf("no solution\n");
else for(int i=0; i<have_node; i++) printf("%d%c", ans[i], i == have_node - 1 ? '\n' : ' ');
}
int main()
{
while(scanf("%d%d", &N, &M) != EOF)
{
for(int i=1; i<=N; i++) for(int j=1; j<=N; j++) mp[i][j] = false;
for(int i=1, u, v; i<=M; i++)
{
scanf("%d%d", &u, &v);
mp[u][v] = mp[v][u] = true;
}
Hamilton();
}
return 0;
}
