数据结构与算法之堆的精简要点总结

堆

优先队列

• 普通队列：先进先出；后进后出
• 优先队列：出队顺序和入队顺序无关；和优先级相关

实现

生活中一般使用二叉堆，及该堆是一个完全二叉树，而堆又可以分为最大堆，最小堆，最大索引堆，最小索引堆。最大（最小）堆具有删除堆顶节点和插入节点两个功能，而除上述两个功能外，最大（最小）索引堆本身具有可以修改节点的特点。

1. 堆化：因为堆满足完全二叉树的条件，所以新插入的节点应在堆底的末位后一位，之后对该节点从下到上的堆化，一般直接与其父节点作比，大于则交换，直到无需交换，使其满足最大堆（最小堆）的条件。
2. 删除堆顶节点：将堆顶节点拿出即将最大（最小）值拿出，是利用堆特性重要的一步，一般将堆顶节点拿出后，使用堆底末位节点进行补位，然后从堆顶自上而下进行堆化，可以保证完全二叉树的性质，又可以保证父节点元素大于（小于）子节点元素。
3. 索引堆：由于元素的形式不同所占内存不同，如果采用只对索引堆化的形式，则减小操作内存，避免大量的内存读写操作，索引堆由：索引数组，元素数组，反索引数组组成。元素数组只用于存储元素，索引数组体现形式为堆，即堆化过程只是针对索引数组，这两者可以保证可以通过索引修改元素，同时保持最大（最小）堆的特性。反索引数组用于在修改元素数组中的元素之后，获取该元素索引在堆（索引数组）中的位置，进而执行堆化操作保证其堆的特性。

二叉堆

用数组存储二叉堆

//从1开始索引
parent (i) = i/2
left child (i) = 2*i
right child (i) = 2*i+1

//从0开始索引
parent (i) = (i-1)/2
left child (i) = 2*i+1
right child (i) = 2*i+2

性能对比

	入队	出队
普通数组	O(1)	O(n)
顺序数组	O(n)	O(1)
堆	O(lgn)	O(lgn)

堆排序

堆排序则是建立在堆这个数据结构之上的一种排序算法，该算法需要对原数组进行堆化，然后依次取堆顶元素（最大值或最小值）以达到排序的目的。比较经典的是原地堆排序，及讲取出堆顶元素的操作换为直接交换堆顶元素和堆底末位元素，并执行自上而下的堆化操作。所以排序时间=堆化操作+排序操作，为 $n$次入队和出队操作，时间复杂度为 $O(nlogn)$。