堆和堆排序
如何理解堆
堆是一种特殊的树，只要满足以下两点，这个树就是一个堆。
①完全二叉树，完全二叉树要求除了最后一层，其他层的节点个数都是满的，最后一层的节点都靠左排列。
②树中每一个结点的值都必须大于等于（或小于等于）其子树中每个节点的值。大于等于的情况称为大顶堆，小于等于的情况称为小顶堆。
如何实现堆
如何存储一个堆
完全二叉树适合用数组来存储，因为数组中对于下标从1开始的情况，下标为i的节点的左子节点就是下标为i*2的节点，右子节点就是i下标为i*2+1的节点，其父节点时下标为i/2的节点
堆支持哪些操作
往堆中插入一个元素
把新插入的元素放到堆的最后就不符合第二个特性了，所以我们需要进行调整，让其重新满足堆的特性，这个过程我们起了一个名字，就叫作堆化（heapify）。
堆化就是顺着节点所在的路径，向上或者向下，对比，然后交换。我们先使用从下往上的堆化方法。
让新插入的节点与父节点对比大小。如果不满足子节点小于等于父节点的大小关系，我们就互换两个节点。一直重复这个过程，直到父子节点之间满足刚说的那种大小关系。
public class Heap{ private int[] data;//数组，从下标1开始存储 private int maxNum;//数组容量 private int count;//当前数组成员数量 //构造器初始化数组，大小和数量 public Heap(int size){ data = new int[size + 1]; maxNum = size; count = 0; } public void Insert(int item){ //堆满返回 if (count >= maxNum) return; //先将节点插入堆尾 data[count++] = item; int i = count; //再自下向上堆化，直到堆顶或者父节点比子节点大为止 while (i / 2 > 0 && data[i] > data[i / 2]){ //交换位置 int temp = data[i]; data[i] = data[i / 2]; data[i / 2] = temp; //更新下标 i = i / 2; } } }
删除堆顶元素
根据对的第二条定义，堆顶元素存储的就是堆中的最大值或最小值。
这里我们使用从上往下的堆化方法。将最后一个节点放到堆顶，然后利用同样的父子节点对比法，进行互换节点直到父子节点之间满足大小关系为止。
这样移除的就是数组中的最后一个元素，不会破环完全二叉树的定义。
public void RemoveMax(){ //堆空返回 if (count == 0) return; //将最后一个节点提到堆顶 data[1] = data[count--]; //进行堆化 Heapify(data,count,1); } public static void Heapify(int[] data,int n,int i){ while (true){ //记录更大节点的位置，初始化为当前节点的位置 int maxPos = i; //如果其左右子节点存在，且比当前节点大，就将左右节点下标设为更大的节点 if (i * 2 <= n && data[i] < data[i * 2]) maxPos = i * 2; if (i * 2 + 1 <= n && data[maxPos] < data[i * 2 + 1]) maxPos = i * 2 + 1; //否则就结束循环，堆化结束 if (maxPos == i) break; //节点交换位置 int temp = data[i]; data[i] = data[maxPos]; data[maxPos] = temp; //更新当前节点的下标，循环继续与下一个左右子节点比较 i = maxPos; } }
如何基于堆实现排序
我们借助于堆这种数据结构实现的排序算法，就叫作堆排序。
我们可以把堆排序的过程大致分解成两个大的步骤，建堆和排序。
建堆
首先将数组原地建成一个堆。借助另一个数组，就在原数组上操作。我们要实现从后往前处理数组，并且每个数据都是从上往下堆化的建堆方法。
public static void BuildHeap(int[] data, int n){ //从下标n/2到1开始进行堆化，n/2就是最后一个叶子节点的父节点。 for (int i = n / 2; i >= 1; --i) Heapify(data,n,i); }
我们对下标从n/2开始到 111 的数据进行堆化，下标是n/2+1到n的节点是叶子节点，我们不需要堆化。
建堆操作的时间复杂度
排序的建堆过程的时间复杂度是 O(n)。
排序
建堆结束之后，数组中的数据已经是按照大顶堆的特性来组织的。数组中的第一个元素就是堆顶，也就是最大的元素。我们把它跟最后一个元素交换，那最大元素就放到了下标为n的位置。
这个过程有点类似删除堆顶元素的操作，当堆顶元素移除之后，我们把下标为n的元素放到堆顶，然后再通过堆化的方法，将剩下的n-1个元素重新构建成堆。
堆化完成之后，我们再取堆顶的元素，放到下标是的位置，一直重复这个过程，直到最后堆中只剩下标为1的一个元素，排序工作就完成了。
public static void Sort(int[] data,int n){ //将数组建造为堆 BuildHeap(data, n); //获取堆尾的下标 int k = n; //循环直到k为1 while (k > 1){ //交换堆顶和堆尾的元素 int temp = data[k]; data[k] = data[1]; data[1] = temp; //将堆尾的下标递减并对1到k的下标的数组成员进行堆化 Heapify(data,--k,1); } }
堆排序的时间复杂度、空间复杂度以及稳定性
堆排序是原地排序算法。堆排序包括建堆和排序两个操作，建堆过程的时间复杂度是O(n),排序过程的时间复杂度是O(nlogn)所以，堆排序整体的时间复杂度是O(nlogn)。
堆排序不是稳定的排序算法，因为在排序的过程，存在将堆的最后一个节点跟堆顶节点互换的操作，所以就有可能改变值相同数据的原始相对顺序。
测试
//Main方法 int[] data = new int[] {0,3,5,2,9,4,7 }; Heap.Sort(data,data.Length-1); for (int i=0;i<data.Length;i++) Console.Write(data[i]+","); //测试结果 0,2,3,4,5,7,9,
数组的第1个成员，即下标0的数据是不作为数据的一部分的，这是为了算法上的方便，如果下标是从0开始，那么左右子节点的下标公式就是i*2+1和i*2+2。
思考
在实际开发中，为什么快速排序要比堆排序性能好？
对于快速排序来说，数据是顺序访问的而对于堆排序来说，数据是跳着访问的。这样对 CPU 缓存是不友好的。
对于同样的数据，在排序过程中，堆排序算法的数据交换次数要多于快速排序。堆排序的第一步是建堆，建堆的过程会打乱数据原有的相对先后顺序，导致原数据的有序度降低。比如，对于一组已经有序的数据来说，经过建堆之后，数据反而变得更无序了。