蓝桥杯 ADV-153 算法提高 数的划分

算法提高 数的划分

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问题描述
　　一个正整数可以划分为多个正整数的和，比如n=3时：
　　3；1＋2；1＋1＋1；
　　共有三种划分方法。
　　给出一个正整数，问有多少种划分方法。

输入格式
　　一个正整数n

输出格式
　　一个正整数，表示划分方案数

样例输入
3

样例输出
3

数据规模和约定
　　n<=100
 

分析：先看一个例子，我们现在列出整数6的所有划分情况：

6

5 + 1

4 + 2

4 + 1 + 1

3 + 3

3 + 2 + 1

3 + 1 + 1 + 1

2 + 2 + 2

2 + 2 + 1 + 1

2 + 1 + 1 + 1 + 1

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

一共11种。

假设为对正整数、拆分序列打头的数字不超过的拆分方案数。例如是指拆分4且拆分得到的序列打头的数字最多为2，即为

2 + 2

1 + 1 + 1 + 1

共2种，而不会出现如

3 + 1

这种以3为开头的情况。

所以递推关系式为

第一个式子是指将拆分成：第一个数为，然后递归的取拆分并且打头的数不超过。

初始条件：

#include <stdio.h>

int main()
{
    int n;
    int f[105][105] = { 0 };

    scanf("%d", &n);

    for (int j = 1; j <= n; ++j)
        f[0][j] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for (int j = 1; j <= i; ++j)
        {
            f[i][j] = 0;
            for (int k = 1; k <= j; ++k)
                f[i][j] += f[i-k][k];
        }
        for (int j = i + 1; j <= n; ++j)
            f[i][j] = f[i][i];
    }
    printf("%d", f[n][n]);

    return 0;
}