Graph Theory 离散数学第五章

写这个时的感想

第一篇博客！！！
小激动！
深刻怀疑这些题目是要考的（判断与应用）；
唉，还有一些定理、结论性的东西（证明类）；
到时候再写罢……

基于老师的ppt和清华大学出版社的《离散数学（第五版）》

第五章 图的基本概念

5.1 有向图和无向图

• 握手定理

  • 求边，求点。
  • 给一个度数列，判断其能不能构成一个图

• 子图

  • 哪些是边导出子图，哪些是点导出子图
  • 这是不是点导出子图，这是不是边导出子图
  • 请画出某图的：
    生成子图（包含所有的顶点、边不一定有）
    子图（相比生成子图，点也不一定全有）
    点导出子图
    边导出子图

• 同构

  • 这几幅图同构吗，为什么
    如果同构，记得要写出点、边的一一对应关系。
    如果不同构，要写出原因

  • 记得图的数学表达（等考完前几场试我再补充）

  • 补图
    请画出某图的补图

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5.2 通路、回路和图的连通性

• 通路与回路
  • 存在通路吗？写出来
    简单通路（所有边都不一样、点无所谓）
    复杂通路（有重复边出现）
    初级通路（所有边都不一样，所有点都不一样）
  • 存在回路吗？写出来
    （如上）
• 连通
  • 有多少个连通分支？
  • 这个点集是不是点割集？
  • 这个边集是不是边割集？
• 有向图当中
  • 弱连通吗？
    看基图连不连通就好了
  • 强连通吗？
    当且仅当图中存在经过每一个顶点至少一次的回路
  • 单向连通吗？
    当且仅当图中存在经过每一个顶点至少一次的通路

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5.3 图的矩阵表示

• 无向图的关联矩阵
  • 怎么写
    行是边，列是点，m_ij是顶点v_i和边e_j的关联次数。
    关联次数有三种取值：
    0（v_i与e_j不关联）
    1（v_i与e_j关联一次）
    2（v_i与e_j关联两次，也就是e_j是以v_i为顶点的环！）
  • 性质
    每一列恰好有两个1：每条边关联两个顶点
    每一列恰好有一个2：环关联的两个顶点重合
    第i行的元素之和：即v_i的度数
    所有元素之和：边数的二倍（握手定理）
    v_i是孤立点时：当且仅当第i行全部为0
    e_j和e_k是平行边时：第j列和第k列相同
• （没有环的） 有向图的关联矩阵
  • 怎么写
    行是边，列是点
    但是！m_ij的取值和之前无向图的不太一样
    1 ：v_i是e_j的始点
    0 ：v_i与e_j不关联
    -1：v_i是e_j的终点
  • 性质
    每一列恰好有一个+1和一个-1；
    每行中 +1 的个数：对应的点的 出度
    每行中 -1 的个数：对应的点的 入度
• 有向图的邻接矩阵 （可以有环了！）
  • 怎么写
    每行每列都代表了点。
    m_ij的取值：v_i邻接到v_j的边的条数
  • 性质
    第i行的元素之和：v_i的出度
    第j列的元素之和：v_j的入度
    所有的元素之和 = 边数
    噢还有一个很重要的定理：
    A^l中的元素a_ij是v_i到v_j长度为l的通路数
    A^l中所有元素和是有向图中长度为l的通路（包括回路）的总数
    其中对角线上的元素和是图中长度为l的回路总数
    就……先不在这里证明了
• 有向图的可达矩阵
  • 怎么写
    若v_i可达v_j，元素p_ij=1；反之，元素p_ij=0
  • 性质
    对角线上元素都是1

类似的，无向图也可以有邻接矩阵和可达矩阵！
即每一条无向边都可以看作一对方向相反的有向边
显然，无向图的邻接矩阵和可达矩阵都是对称的

5.4 最短路径、关键路径和着色

Dijkstra算法

项目网络图

着色