CF1109D Sasha and Interesting Fact from Graph Theory（组合数学&扩展Cayley's formula公式）

CF1109D Sasha and Interesting Fact from Graph Theory（组合数学&扩展凯利公式）

题目大意

给出n个点，由这些点连成一棵树，树中每一条边的权重介于 $[1,m]$给出两点a，b问有多少种树满足a，b之间的路径的权值之和为m

解题思路

假设给定的ab之间假设存在条边，则这n条边为了满足条件则有 $C_{m-1}^{i-1}$种权重分配方式,除了两端的a,b共有选点方式有 $C_{n-2}^{i-1}$种分配方式，再对选出的点进行全排列则须再乘上 $A_{i-1}^{i-1}$满足ab之间的边之后剩余的所有的边的的权重任意 $m^{n-1-i}$接下来需要将剩下来的 $n-i-1$个点接到这个ab路径上

为此需要引入Cayley公式.以下引自wiki：

设 $T_{n,k}$为n个有标号点分成k个连通块的的分割种数，其中节点1,2,3,…k属于不同的联通块
$T_{n,k}=k\ n^{n-k-1}$
由此枚举所有的 $i\in(1,m)$即可得出答案

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int size=1e6+5;
const int mod=1e9+7;
int fac[size];
int invfac[size];
int quick_pow(int a,int b)
{
	a=a%mod;
	int ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1) ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
void init()
{
	fac[0]=1;
	fac[1]=1;
	for(int i=2;i<size;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	invfac[size-1]=quick_pow(fac[size-1],mod-2);
	for(int i=size-2;i>=0;i--)
	invfac[i]=invfac[i+1]*(i+1)%mod;
}
inline int C(int n,int m){return ((fac[n]*invfac[n-m]%mod)*invfac[m])%mod;}
inline int A(int n,int m){return fac[n]*invfac[n-m]%mod;}
int32_t main()
{
	int n,m;
	int a,b;
	cin>>n>>m>>a>>b;
	init();
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int vcnt=i+1,ecnt=i;
		if(vcnt>n) break;
		if(vcnt==n) ans=(ans+C(m-1,ecnt-1)*fac[vcnt-2]%mod)%mod;
		else ans=(ans+C(n-2,vcnt-2)*C(m-1,ecnt-1)%mod*fac[vcnt-2]%mod*quick_pow(m,n-1-ecnt)%mod*vcnt%mod*quick_pow(n,n-vcnt-1))%mod;
	}
	cout<<ans<<endl;
}