【数据结构与算法】图的概念，邻接矩阵，邻接表的实现

图的定义

是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通过常表示为：G(V,E)，其中G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。

无向边，无向图：
若顶点V_i 到V_j之间的边没有方向，则称这条边为无向边，用无序偶对（V_i,V_j）来表示,因为无向，也可以写成（V_j,V_i）。
如果图中任意两个顶点之间都是无向边，则称该图为无向图。

该无向图G₁可表示为：G₁=(V₁{E₁})
其中顶点集合 V₁={A,B,C,D}
边集合E₁={(A,B)，{B,C}，{C,D}，{D,A}，{A,c}}

有向边，有向图：
若顶点 V_i 到 V_j 的边有方向，则称这条边为有向边，也称为弧（Arc）,用无序偶 <V_i,V_j> 来表示，V_i是弧尾，V_j是弧头。不可以反过来<V_j,V_i>
如果任意俩个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图。

G₂={V₂,{E₂}}，其中顶点集合 V₂={A,B,C,D}; 弧集合E₂={<A,D>,<B,A>,<C,A>,<B,C>}

无向完全图：
无向图中，任意俩个顶点都存在边称为无向完全图。
n为顶点数，含有 n*(n-1)/2 个边

有向完全图：
含有 n*(n-1) 条边

稀疏图 稠密图：
很少边或弧，反之稠密图。

权：
与图的边或弧相关的数叫权(Weight)

权值为2160

网：
带权的图

无向图的边数为度的一半

有向图的边数等于入度或出度

入度：2+0+1+1=4 出度：1+2+1+0=4

树的根结点到任意结点的路径是唯一的，但图中顶点与顶点之间的路径却不是唯一的

路径的长度大于路径边上的边或弧的数目

回路或环
第一个顶点到最后一个相同的路径

简单路径
顶点不重复出现的路径

简单回路或环
除第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路

连通图
A到B有路径，则A和B是连通的，图中任意两点是连通的，则是连通图。

连通分量,强连通分量
无向图中的极大连通子图
有向的就是强连通分量。

邻接矩阵（适用稠密图）

图的邻接矩阵储存方式是用两个数组来表示图。一个一维数组储存图中顶点信息，一个二维数组（储存图中的边或弧的信息）

顶点数组：

边数组：

带有权值：
将0改成 ∞ ，1改成权值

代码实现：

package graph;

public class DenseGraph {
	private int n;  // 节点数
    private int m;  // 边数
    private boolean directed;   // 是否为有向图
    private boolean[][] g;      // 图的具体数据

    // 构造函数
    public DenseGraph( int n , boolean directed ){
        assert n >= 0;
        this.n = n;
        this.m = 0;    // 初始化没有任何边
        this.directed = directed;
        // g初始化为n*n的布尔矩阵, 每一个g[i][j]均为false, 表示没有任和边
        // false为boolean型变量的默认值
        g = new boolean[n][n];
    }

    public int V(){ return n;} // 返回节点个数
    public int E(){ return m;} // 返回边的个数

    // 向图中添加一个边
    public void addEdge( int v , int w ){

        assert v >= 0 && v < n ;
        assert w >= 0 && w < n ;

        if( hasEdge( v , w ) )
            return;

        g[v][w] = true;
        if( !directed )
            g[w][v] = true;
        
        m ++;
    }

    // 验证图中是否有从v到w的边
    boolean hasEdge( int v , int w ){
        assert v >= 0 && v < n ;
        assert w >= 0 && w < n ;
        return g[v][w];
    }
}

邻接表（适用稀疏图）

数组与链表相结合的储存方法称为邻接表


逆邻接表

有权值的话，在adjvex与next之间加个weight

代码实现

package graph;

import java.util.Vector;

public class SparseGraph {
	private int n;  // 节点数
    private int m;  // 边数
    private boolean directed;    // 是否为有向图
    private Vector<Integer>[] g; // 图的具体数据

    // 构造函数
    public SparseGraph( int n , boolean directed ){
        assert n >= 0;
        this.n = n;
        this.m = 0;    // 初始化没有任何边
        this.directed = directed;
        // g初始化为n个空的vector, 表示每一个g[i]都为空, 即没有任和边
        g = (Vector<Integer>[])new Vector[n];
        for(int i = 0 ; i < n ; i ++)
            g[i] = new Vector<Integer>();
    }

    public int V(){ return n;} // 返回节点个数
    public int E(){ return m;} // 返回边的个数

    // 向图中添加一个边
    public void addEdge( int v, int w ){

        assert v >= 0 && v < n ;
        assert w >= 0 && w < n ;

        g[v].add(w);
        if( v != w && !directed )
            g[w].add(v);

        m ++;
    }

    // 验证图中是否有从v到w的边
    boolean hasEdge( int v , int w ){

        assert v >= 0 && v < n ;
        assert w >= 0 && w < n ;

        for( int i = 0 ; i < g[v].size() ; i ++ )
            if( g[v].elementAt(i) == w )
                return true;
        return false;
    }
}