1.前缀和题目要求：
输入一个长度为n的整数序列。
接下来再输入m个询问，每个询问输入一对l, r。
对于每个询问，输出原序列中从第l个数到第r个数的和。
输入格式
第一行包含两个整数n和m。
第二行包含n个整数，表示整数数列。
接下来m行，每行包含两个整数l和r，表示一个询问的区间范围。
输出格式
共m行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤l≤r≤n,
1≤n,m≤100000,
−1000≤数列中元素的值≤1000
输入样例：
5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4
输出样例：
3
6
10
算法的基本步骤：
第一步：输入一个整型数组a[N]，数组的长度n，以及询问次数m。
第二步：计算前n项和，即利用公式s[ i ] = s[ i - 1] + a[ i ],写入s[N]的数据。
第三步：依次按输入的边界l 和r，计算中间数的和（即s[r] - s[l - 1]）.
算法的关键点：
前n项和数组的写入和给定边界求中间数之和的计算。
程序代码：
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, m;
int a[N], s[N];
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &a[i]);
for(int i = 1; i <= n; i ++) s[i] = s[i -1] + a[i];
while(m --)
{
int l, r;
scanf("%d%d", &l, &r);
printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]);
}
return 0;
}
2.子矩阵的和题目要求：
输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个询问，每个询问包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。
输入格式
第一行包含三个整数n，m，q。
接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。
接下来q行，每行包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一组询问。
输出格式
共q行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4
输出样例：
17
27
21
算法的关键点：
①二维数组前缀和 s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j].
②(x1,y1),(x2,y2)(x1,y1),(x2,y2) 这一子矩阵中的所有数之和为：
s[x2][y2] - s[x2][y1 -1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1-1][y1-1])
程序代码：
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m, q;
int a[N][N], s[N][N];
int main()
{
scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
for(int i = 1; i <= n; i ++)
for(int j = 1; j <= m; j ++)
{
scanf("%d", &a[i][j]);
s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];
}
while(q --)
{
int x1, y1, x2, y2;
scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x2][y1 -1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1-1][y1-1]);
}
return 0;
}
3.差分的题目要求：
输入一个长度为n的整数序列。
接下来输入m个操作，每个操作包含三个整数l, r, c，表示将序列中[l, r]之间的每个数加上c。
请你输出进行完所有操作后的序列。
输入格式
第一行包含两个整数n和m。
第二行包含n个整数，表示整数序列。
接下来m行，每行包含三个整数l，r，c，表示一个操作。
输出格式
共一行，包含n个整数，表示最终序列。
数据范围
1≤n,m≤100000,
1≤l≤r≤n,
−1000≤c≤1000,
−1000≤整数序列中元素的值≤1000
算法的关键点：
构造一个数组b[N], 使得差分数组b的前缀和是输入数组a。
要使前缀和数组a在某一段内的数据都加一个常数c，可以将其差分数组的左边界加上c, 右边界偏移一步的数据减去c,
即b[l] += c, b[r+1] -= c.
程序代码：
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, m;
int a[N], b[N];
void insert(int l, int r, int c)
{
b[l] += c;
b[r + 1] -= c;
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
scanf("%d", &a[i]);
insert(i, i, a[i]);
}
while(m --)
{
int l, r, c;
scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
insert(l, r, c);
}
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
a[i] = a[i - 1] + b[i];
printf("%d ", a[i]);
}
return 0;
}
4.差分矩阵题目要求：
输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个操作，每个操作包含五个整数x1, y1, x2, y2, c，其中(x1, y1)和(x2, y2)表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上c。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。
输入格式
第一行包含整数n,m,q。
接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。
接下来q行，每行包含5个整数x1, y1, x2, y2, c，表示一个操作。
输出格式
共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。
数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤100000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤c≤1000,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1
输出样例：
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2
算法关键点：
构造一个数组b[N][N], 使得差分数组b的前缀和是输入数组a。
a[i][j]+c，从b数组构成的矩阵上来看就是b[i][j]这一个小矩阵加上c.
用式子表示即为b[i][j] += c, b[i + 1][j] -= c, b[i][j + 1] -= c, b[i + 1][j + 1] += c。
程序代码：
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m, q;
int a[N][N], b[N][N];
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
b[x1][y1] += c;
b[x2 + 1][y1] -= c;
b[x1][y2 + 1] -= c;
b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}
int main()
{
scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
for(int i = 1; i <= n; i ++)
for(int j = 1; j <= m; j ++)
{
scanf("%d", &a[i][j]);
insert(i, j, i, j, a[i][j]);
}
while(q --)
{
int x1, y1, x2, y2, c;
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
insert(x1, y1, x2, y2, c);
}
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
for(int j = 1; j <= m; j++)
{
a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1] + b[i][j];
cout << a[i][j] << ' ';
}
cout << endl;
}
return 0;
}