二维前缀和简单总结

注：这篇博客的两张图是我从别人的博客搬过来了的，这里把贴出这篇博客的链接讲的挺好的

什么是二维前缀和

首先我们要明白前缀和是个什么东西：“前缀和”是在一维数组中（假设该数组为 ar[] ,以ar[1] 作为第一个ar数组的第一个元素）说的，那么第i个元素的前缀和sum[i] = ar[1 ] +ar[2] + …+ar[i] ; 二维前缀和就是在二维数组中用的，既然说是二维，那么一定是一个矩形有边界的平面内的数字之和，例如下图可以看成一个二维数组形成的一个平面，（1 ，1）为二维数组的第一个元素下标，（i，j）是数组内任意一个元素的下标，则由这两个下标组成的矩形区域（红色区域）内所有的数字之和，就是二维前缀和（这里强调一定是，数组的原点（1，1）必须是矩形的右上顶点，这样矩形区域内的数组之和才叫二维前缀和）

有啥用？

用处就是：用二维前缀和预处理过二维数组之后可以，可以以O（1）的时间求出在二维数组中的某个矩形（或正方形）的区域内数字之和（二维前缀和完美的体现了预处理的强大）。

具体实施步骤

1 .预处理二维数组（`假设为map[][]`）

根据⬆️图：我们假设要求是（1，1）的（i，j）为定点到矩形区域到前缀和这里我们可以把前缀和单程面积来思考，
首先我们假设（1，1）到（i，j）组成的矩形区域面积（其实是前缀和）为S(i,j),
其次假设从（1，1）到（i - 1，j）区域的面积为S(i - 1 , j),
最后假设从（1，1）到（i , j - 1 ）区域的面积为S(i , j - 1)。
另外,由于图中以（i - 1 ，j- 1）到（i， j）形成蓝色区域到面积就是map[ i][j].
这个时候我们通过拼凑的方法求出我想要的矩形区域的面积（其实是前缀和），
这样根据图我们很容易的推出：S(i , j) = S(i - 1 , j) + S(i , j - 1)- S( i - 1 , j - 1) +map[ i ][j]
在这个表达式中有两部分要注意：
第一部分： - S( i - 1 , j - 1)是因在在区域面积S(i - 1 , j) 与 S(i , j - 1) 重合的面积为 S( i - 1 , j - 1) （即图中的红色区域）；
第二部分：+map[ i ][ j ] : 加上它是因为拼凑完面积之后还缺少图中蓝色区域所代表的面积，所以要加上 map[ i ][ j ] 所代表的蓝色区域的面积

2.实践求某个矩形/正方形区域内的数字和

在这里插入图片描述
1⃣️： 核心思想：还是拼凑出我们想求的区域的面积（这里的面积就是我们所求区域的数字和），通过之前的预处理操作。
举例子来说吧：例如我们想求上图中绿色区域的数字和 S直接拼凑就行了：S = S（x2, y2）- S(x2,y1) - S(x1, y2) + S(x1 , y1);
⚠️：这里的+ S(x1 , y1)是因为我们重复减了S(x1 , y1 )这个区域两次，所以要再加上一次这个区域。

2⃣️：有了上面那个表达式后，还需要对这个式子略微做一些变形，一般题目给我们的条件就是：所求区域的竖直方向的宽度为b 、水平方向的长度为a，那么我们根据已知的x1、y1、a、b，可以推出我们所需要的的x2、y2.
公式如下：

x1 + a = x2 、y1 + b = y2
将这两个表达式带入表达式S得：S = S(x1 + a , y1 + b) - S(x1 + a , y1) - S(x1 , y1 + b) + S(x1 , y1);

3⃣️：我们还缺最后一步就可以搞定了：由于画图的原因我们发现边界好想不对，而且表达S所求的区域也有点不对，让们稍微的调整一下S表达式，让它求的恰好是我们所需要求的二维区域并且所求的矩阵区域和包括矩形区域的边上的元素，其实这个改动非常简单，就是在表达式中S中的x1、y1 分别替换成x1 - 1 、 y1 - 1，所以最终我们想求区域的数字和的表达式为S = S(x1 - 1 + a , y1 - 1 + b) - S(x1 - 1 + a , y1- 1) - S(x1 - 1 , y1 - 1 + b) + S(x1 - 1 , y1 - 1 );

学以致用

最大子矩阵和传送门

题解如下

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int Len = 1005;
int map[Len][Len];            //存放数组元素
long long S[Len][Len];        //子矩阵和

int main()
{
//    freopen("T.txt","r",stdin);
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t --)
    {
        memset(S , 0 , sizeof(S));
        int m,n,x,y;
        scanf("%d %d %d %d", &m, &n, &x, &y);
        for(int i = 1; i <= m; i ++)
            for(int j = 1; j <= n; j ++)
            {
                scanf("%d", &map[i][j]);
                //预处理二维前缀和
                S[i][j] = S[i - 1][j] + S[i][j - 1] - S[i - 1][j - 1] + map[i][j];
            }

        long long ans = -1;
        for(int i = 1; i <= m - x + 1; i ++)
            for(int j = 1; j <= n - y + 1; j ++)
                ans = max(ans , S[i + x - 1][j + y - 1] - S[i + x - 1][j - 1] - S[i - 1][j + y - 1] + S[i - 1][j - 1]);
                                    //max函数的第二个参数就是求给定长宽后的矩形区域的数字和
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}