【NOIP模拟】20/02/09

$BZOJ4504$ K个串

• 题解：考虑用数据结构维护以一个点为右端点时，每一个左端点的答案
  考虑新增一个数的贡献，就是对一个左端点的区间的区间加
  于是用主席树实现区间加，堆维护每一个右端点的最优答案
  取出最优答案后将那个位置改为 $-INF$ 即可

$Code$

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$BZOJ4503$ 两个串

• 题解： $FFT$ 实现通配符匹配，定义从 $t$ 开始匹配的权值为 $\sum_{i=0}^{m-1}B_i*(A_{i+t}-B_i)^2$
  通配符 $B_i$ 的权值为 0， 注意一下下标处理，我用了 4 次 $dft$，2 次 $idft$，感觉不是最优解法
  $Code$

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$BZOJ4502$ 串

• 题解：好题
  有两种思路，第一种是用总的减去重复的，第二种是钦定重复的只被统计一次，两种方法都可以成功
  建出 $trie$ 树后前缀的总个数是结点数，那么不考虑重复就是结点数的平方
  
  考虑去掉重复的，我一开始的想法是枚举绿色部分，因为绿色部分是 $trie$ 树上的一个前缀，那么当前重复的就是以绿色部分为前缀的串个个数 * 以绿色部分为后缀的串的个数，但自己把自己 $hack$ 掉了
  
  如果有 3 个重复的串的话会被绿色枚举到 3 次，题解注意到了更巧妙的性质
  
  紫色串是出现在前缀中的蓝色串的后缀，那么紫色串一定在蓝色串到根的 $fail$ 链上
  考虑解决刚才减多了的问题，考虑应该被减几次
  
  注意到紫色串和它的后缀又可以贡献一个重复串，那么一个串的被统计次数就是 $fail$ 链上一段的点数，我们的策略就是对于每一对 $(i,fail_i)$ 减一次，就可以不重不漏，就是那个著名的 “ 点 - 边 = 1 ”
  这么做以后，我们就可以枚举一个蓝色串，找到其跳一个 $fail$ 的紫色串，蓝色串向上跳紫色串的深度找到绿色串，统计绿色串作为多少个串的后缀，这个就是 $fail$ 子树的 $size$
  于是我们可以对原题进行加强，变成 $\sum |S|\le 3e5$，通过倍增来跳做到 $\sum|S|log(|S|)$
  $Code$

• 解法 2：考虑让每一个串只被统计到一次，注意到一个串在 $AC$ 自动机上匹配的路径是唯一的
  我们可以变成统计合法的路径条数。
  考虑什么样的路径是合法的，第一种是一直向下走一个前缀但这个前缀可以分解成两个前缀，这个可以用 $fail$ 判，第二种是跳过 $fail$，假设第一次跳 $fail$ 后走了 $k$ 步，那么如果停下来的点深度 $\ge k$ 这个串就是合法的。
  同时注意到最后形成的串长不会超过 $60$，于是我们可以设计 $dp$， $dp_{i,j}$ 表示第一次跳 $fail$ 后走了 $k$ 步，到结点 $j$ 的合法方案，复杂度 $O(\sum|S|*60*26)$，如果按上面的方法加强就可以卡掉
  $Code$
  两种方法都值得推敲，是一道好题，考场上与第一种方法接近，但没有发现更多的性质