【省选模拟】20/02/11

题目 $pdf$

• 感觉最近智商好低， $T1$ 写的正解被自己送成了 $10$ 分，然后一直推 $T2$ 根本没有检查 $T1$ 然后 $T3$ 的暴力也没有打，最后群上催着收卷草草交卷成功爆炸
• 在家里 $test$ 也要讲究策略， 该打的暴力要打，该拍的题要拍
  非常时期不能因为在家里考试就耍水偷懒！

题解：

• T1：注意到如果确定一个中心点过后，我们可以通过双指针扫一遍来看有多少个孤立点，如果孤立点个数 $\le k$ 那么这个中心点是合法的
  首先判掉 $k\ge n$ 的情况（无穷多个），那么现在中心点至少是某两个点的中点
  那么我们可以 $N^2$ 枚举 $O(N)$ 判断
  考虑一些中点可以直接 $ban$ 掉， 那就是左倾和右倾的中点
  我们规定除去孤立点外横坐标最小的点为 $(x_0,y_0)$，中间点为 $(x,y)$，除去孤立点外横坐标最大的点是 $(x_1,y_1)$，那么必须满足 $x_0$ 左边的点和 $x_1$ 右边的点个数 $\le k$ 个
  于是只有 $check$ $k^2$ 个中间点，复杂度 $O(k^2n)$
  $Code$

• T2：考场居然在推容斥，其实这道题容斥十分不好看，我们可以直接计算合法的方案数
  那么显然有的 $dp$： $dp_{i,l,r}$ 表示到第 $i$ 排， $i$ 排保留的为 $(l,r]$ 的点的概率，有转移
  $dp_{i,l,r}=p_l*p_{m-r}\sum_{j<r,k>l}dp_{i-1,j,k}$
  二维前缀和优化就可以得到 $60$ 分，考虑继续优化，我们令
  $f_{i,r}=\sum_{l<r} dp_{i,l,r}$， $g_{i,l}=\sum_{l<r}dp_{i,l,r}$
  那么我们直接考虑 $f,g$ 的转移，令 $Sf$ 为 $f$ 的前缀和， $Sg$ 为 $g$ 的后缀和，合法的转移是一个矩阵的右上角，那么我们可以写出
  $f_{i,r}=p_{m-r}*\sum_{l<r}(Sf_{i-1,m}-Sf_{i-1,l}-Sg_{i-1,r})*p_{l}$
  那么需要维护 $p$ 的前缀和， $Sf*p$ 的前缀和， $g$ 同理讨论即可
  复杂度 $O(k+mn)$
  $Code$

• T3：首先最后的生成树边一定都是两个生成树上的边，那么我们对二者都求一遍最小生成树
  考虑当 $x$ 很小时，最后的生成树全部是第一棵树上的边，随着 $x$ 的增大将会有一些替换
  那么我们可以令当前生成树为第一棵树，然后将第二棵树上的边按从小到大加入，那么当 $x$ 足够大时，它将替换当前树上的链上最大的第一棵树的边，我们可以求出这个 $x$ 的下届
  按下届排序，二分就可以知道最后选了哪些边，链上最大， $link,cut$ 用 $LCT$ 解决
  复杂度 $O(nlog(n))$
  $Code$