1. 系统函数的性质
1.1 变换的对偶性
不管是傅里叶变换的频域还是拉普拉斯变换的\(s\)域（下面统称\(s\)域），都是深入讨论LIT系统的有力工具，有时甚至是必备工具。\(s\)域的系统函数和时域的信号（单位冲激响应）是一对共生体，它们通过拉普拉斯变换生成彼此，同时也是连接两个域的纽带。对一个函数解析式，经常要对它做一些常规的分析操作，比如运算、平移、缩放、微积分、卷积等。一个很自然的问题是，在某个域的分析操作会对另一个域带来什么影响呢？本篇就来讨论这个问题。
在正式讨论之前，有必要再回顾一下拉普拉斯变换的公式。你可能一开始就注意到，正反变换存在一定的“对称性”，而仅在局部有微小差别。在数学上，两个概念如果通过类似的方法互相定义，它们就称为对偶的，从形式上不难看出，互为对偶的概念的性质也是对偶存在的，这就省去了相似论证的麻烦。信号\(x(t)\)和拉普拉斯变换\(H(s)\)之间不具有严格的对偶性，但这样的相似性仍然可以被使用。如果记\(\chi(\omega)=\dfrac{e^{\sigma}}{\sqrt{2\pi}}X(\sigma+j\omega)\)，将得到更为对称的式（1），把这个关系记作变换\(T\)，显然有式（2）成立。以后变换的性质如果本身不是对称的，可以运用该式迅速得到另一个对称的性质，当然简单的性质直接证明会更快。
\[x(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\chi(\omega)e^{j\omega t}\,\text{d}\omega;\;\;\chi(\omega)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\,\text{d}t\tag{1}\]
\[x(t)\,\overset{T}\leftrightarrow\,\chi(\omega)\;\;\Leftrightarrow\;\;\chi(t)\,\overset{T}\leftrightarrow\,x(-\omega)\tag{2}\]
1.2 拉普拉斯变换的性质
以下按函数运算的复杂程度，罗列LT的基本性质，过于直白的结论不加证明。需要注意的是，性质成立有它自己的ROC，并不完全受限于原LT的ROC。还有我们知道，ROC和积分在具体的\(s\)上的收敛性是不同的，以下性质在ROC外的收敛点仍然可以是成立的。
首先是函数的线性运算，在\(s\)域也是线性的（式（3））。然后看函数的平移，容易有式（4）左成立，在\(s\)域的平移还有式（4）右成立，这是一组对偶性质。当对函数进行伸缩时，频谱系数也跟着反比例伸缩（式（5）左）；特别地，\(a=-1\)时表示函数左右翻转（旋转180度），\(s\)域则也跟着旋转180度（式（5）右）。需要说明的是，LT是定义在实变量的复函数上的，故\(x(t)\)也可以是复值函数。对LT右式两边取共轭（用\(x^*\)表示），再将\(s\)换成\(s^*\)，即得到\(x^*(t)\)的FT（式（6）左）；对于实信号有\(x^*(t)=x(t)\)，从而有式（6）右的频谱关系。
\[ax(t)+by(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;aX(s)+bY(s)\tag{3}\]
\[x(t-t_0)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;e^{-st_0}X(s);\;\;\;e^{s_0t}x(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;X(s-s_0)\tag{4}\]
\[x(at)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{|a|}X(\dfrac{s}{a});\;\;x(-t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;X(-s)\tag{5}\]
\[x^*(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;X^*(s^*);\;\;X(s)=X^*(s^*)\tag{6}\]
本段来讨论LT在微积分下的性质，论证中会用到微分、积分顺序的交换，这可以由函数的一致收敛性得到（见微积分）。首先对LT逆变换式的两边分别取微分，可得式（7），它就是\(x'(t)\)的拉普拉斯展开，所以频谱函数就是\(sX(s)\)（式（8）左）。同样的方法，也可以得到\(s\)域微分的性质（式（8）右）。逆向使用微分性质，便能得到时域积分的LT公式（9），当\(s=0\)时性质不成立，但不影响公式在其它\(s=j\omega\)上成立。
\[x'(t)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(s)se^{st}\,\text{d}\omega\tag{7}\]
\[\dfrac{\text{d}x(t)}{\text{d}t}\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;sX(s);\;\;-tx(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;\dfrac{\text{d}X(s)}{\text{d}s}\tag{8}\]
\[\int_{-\infty}^tx(\tau)\,\text{d}\tau+C\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;\dfrac{X(s)}{s}\tag{9}\]
在微积分中我们知道，任何非奇异函数与三角函数\(\cos\omega t\)的积分，在\(\omega\to\infty\)时总是趋于\(0\)的。从而在拉普拉斯变换中，当\(s\to\infty\)时（延虚轴方向）一定有\(X(s)\to 0\)。当\(x(t)\)含有奇异值时，这个性质不再成立，比如容易算得\(\delta(t)\)的LT是\(1\)。如果\(x(t)\)的（高阶）微分仍不是奇异函数，利用公式（8）可以继续得到当\(s\to\infty\)时\(s^kX(s)\to 0\)。\(x'(t)\)出现奇异值（比如仅在\(t=0\)处）的常见原因是，\(x(t)\)出现了值跳变\(\Delta=x(0^+)-x(0^-)\)。这时可以把\(x(t)\)拆成\(\Delta u(t)+g(t)\)，则\(g(t),g'(t)\)都是非奇异的，对等式两边做拉普拉斯变换并整理得式（10）（\(u(t)\)的LT为\(1/s\)）。当\(s\to\infty\)时（延虚轴方向）\(sG(s)\to 0\)，所以有式（11）左成立；当\(s\to 0\)时回到\(g'(t)\)的LT公式，可算得\(sG(s)\to g(+\infty)-g(-\infty)\)，加上\(\Delta\)便有式（11）右成立。课本上还假定\(x(t)\)在\(t<0\)时为\(0\)，即可以有\(x(-\infty)=x(0^-)=0\)，这时的结论会更简洁一点，分别叫初值定理和终值定理。
\[x(t)=\Delta u(t)+g(t)\;\Rightarrow\;sX(s)=\Delta+sG(s)\tag{10}\]
\[\lim_{s\to\infty}sX(s)=x(0^+)-x(0^-);\;\;\lim_{s\to 0}sX(s)=x(+\infty)-x(-\infty)\tag{11}\]
最后来看卷积\(x(t)*y(t)\)的拉普拉斯变换，它在LIT中可以阐述为：信号\(x(t)\)在单位冲激响应为\(y(t)\)的系统下的输出。\(X(s)\)是\(x(t)\)在基波\(e^{st}\)下的密度系数（先忽略统一系数\(\dfrac{1}{2\pi}\)）,\(Y(s)\)是基波\(e^{st}\)在系统下的响应系数，这样分支\(X(s)e^{st}\)的系统响应就是\(X(s)Y(s)e^{st}\)，所以总响应函数的密度系数就是\(X(s)Y(s)\)。式（12）总结了这个重要的卷积性质，当然通过积分交换直接证明才是最严格的，请自行完成。卷积性质揭示了拉普拉斯分解对LIT系统的意义，时域的卷积在\(s\)域只是简单的乘法。其实这个结果也没什么好意外的，从讨论特征函数起，我们就在朝这个方向行进。
\[x(t)*y(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;X(s)Y(s)\tag{12}\]
1.3 傅里叶变换的性质
傅里叶变换是拉普拉斯变换取\(s=j\omega\)的特殊情况，故以上性质对FT也是成立的，请回顾以上性质并用\(j\omega\)带入。做为特殊情况，傅里叶变换也必有自己独有的性质，这里专门进行阐述。比较有代表性的是式（13）的帕斯瓦尔定理（Parseval），你可以使用\(|x(t)|^2=x(t)x^*(t)\)自行验证，这里从另一个角度阐述。信号是一种能量，\(|x(t)|\)蕴含着能量的大小，式（13）左即是信号能量的度量公式（平方不仅计算方便、也更符合现实意义）。另外不难证明，基波\(ae^{j\omega t}\)的能量是\(|a|^2\)，且不同频率基波的能量是互相独立的。这就是定理的直观解释，频谱系数\(X(j\omega)\)也被叫做能量谱。
\[\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2\,\text{d}t=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|X(j\omega)|^2\,\text{d}\omega\tag{13}\]
式（5）左信号的伸缩，会带来频谱系数反向的伸缩，系数\(1/|a|\)保证了能量守恒。信号的时移（式（4）左）在频谱上只是乘上了函数\(e^{-j\omega t_0}\)，它的意义是在对相位调制\(\omega_0 t_0\)而范数不变，这符合直观感觉。信号翻转时正好也带来频域的翻转（式（5）右），一对正负频率其实就是相反方向的。对实函数的性质式（6），偶函数还满足\(x(t)=x(-t)\)，从而有\(X(-j\omega)=X^*(-j\omega)\)，即\(X(j\omega)\)为实值函数；同样可知实奇函数的\(X(j\omega)\)为纯虚值函数。
上面提到过，式（9）在\(s=0\)处不收敛，而在其它\(s=j\omega\)处仍然成立（如果\(x(t)\)的FT收敛），现在需要专门计算\(h(t)=\int_{-\infty}^tx(\tau)\,\text{d}\tau\)在基波\(e^0=1\)上的频谱。如果\(h(+\infty)=X(0)\)存在，\(h(t)\)的平均值是\(X(0)/2\)（不严谨），所以它对\(1\)的频谱就是\(X(0)\delta(t)/2\)。综合便有\(h(t)\)的频谱系数（式（14）），注意左部分要把\(\omega=0\)去掉。另外，卷积性质（10）不具有对称性，利用对偶式（2）可以推出式（15）的乘法性质，它是“幅度调制”理论的基础。
\[\int_{-\infty}^tx(\tau)\,\text{d}\tau\;\overset{F}{\leftrightarrow}\;\dfrac{X(j\omega)}{j\omega}+\pi X(0)\delta(\omega)\tag{14}\]
\[x(t)y(t)\;\overset{F}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{2\pi}X(j\omega)*Y(j\omega)\tag{15}\]
傅里叶级数可以纳入傅里叶变换的公式，以上性质基本也适用于FS，只需把\(\omega\)换成\(k\omega_0\)、并注意频谱系数的意义差别。但有两个性质需要单独论证，请自行证明。一个是帕斯瓦尔定理，式（16）将能量定义在一个周期上；另一个是周期卷积性质（式（17）），周期函数的卷积只计算一个周期的积分。
\[\int_T|x(t)|^2\,\text{d}t=T\sum_{k\in\Bbb{N}}|a_k|^2\tag{16}\]
\[x(t)*y(t)\;\overset{FS}\leftrightarrow\; Ta_kb_k\tag{17}\]
2. 常见系统函数
这里列举一些基础的系统函数，说它们基础是指，它们简单但能构建起更复杂的系统，或者通过变换性质将一个系统快速地生成为另一系统。先来看最简单的\(\delta(t)\)，直接带入变换式便有式（18）左。它的直观意义很明显，将所有基波零相移地叠加，在\(t=0\)处会产生单位冲击，而其它位置为0。回到分解式可以有\(\int_{-\infty}^{\infty}1\,\text{d}\omega=2\pi\delta(0)\)，这个反直观的结论在奇异函数的世界里就是成立的，直接使用它能让前面困难的推导顺畅起来。继续对\(\delta(t)\)微分便有式（18）右，这样\(s\)的多项式的逆变换就都有了。
\[\delta(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;1;\;\;u_n(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;s^n\tag{18}\]
阶跃函数\(u(t)\)的微分是\(\delta(t)\)，根据积分性质可知频谱系数为\(\dfrac{1}{s}\)，当然也可以直接计算并得到ROC是\(\sigma>0\)（式（19）左）。\(u(t)-1=-u(-t)\)的微分还是\(\delta(t)\)，它的LT也有非空的ROC（式（19）右）。式（19）提醒我们，变换式不能唯一确定逆变换，还需要加入ROC的因素。另外，有了简单分式\(\dfrac{1}{s}\)，利用\(s\)域的平移性质和积分性质，可以得到式（20）的变换（\(a\)为复数）。组合两者就能得到\(\dfrac{1}{(s-a)^n}\)的逆变换，当然把\(u(t)\)换成\(-u(-t)\)都还有一个解，且ROC为\(\sigma<0\)。
\[u(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{s},\;(\sigma>0);\;\;\;-u(-t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{s},\;(\sigma<0)\tag{19}\]
\[e^{at}u(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{s-a};\;\;u_{-n}(t)=\dfrac{t^{n-1}}{(n-1)!}u(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{s^n}\tag{20}\]
复数域内的任何分式都可以分解为多项式和一些简单分式\(\dfrac{1}{(s-a)^n}\)的和，故任何分式系统函数的逆变换都能给出。如果限定在实数域，分式还可能分解出二次项因子\(\dfrac{cs+d}{(s^2-2as+b)^n}\)，其中二次项可写成\((s-a)^2+\omega^2\)。二次项的两个根为\(a\pm j\omega\)，可以先在复数域求一次项的逆变换（先设\(a=0\)），再把共轭的一次项合并便能得到式（21）。结合\(s\)域平移和卷积便能得到一般二次项因子的逆变换，还要注意使用\(-u(-t)\)的另一个解，至此实数域分式的逆变换也解决了。
\[\cos\omega t\cdot u(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;\dfrac{s}{s^2+\omega^2};\;\;\sin\omega t\cdot u(t)\;\overset{L}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{s^2+\omega^2}\tag{21}\]