POJ 3666 Making the Grade 线性DP

题目大意
给定长度为N的序列A，构造一个长度为N的序列B，满足：

1、B非严格单调，即B1≤B2≤…≤BN或B1≥B2≥…≥BN。
2、最小化 S=∑Ni=1|Ai−Bi|。

只需要求出这个最小值S。

输入格式
第一行包含一个整数N。

接下来N行，每行包含一个整数Ai。

输出格式
输出一个整数，表示最小S值。

数据范围
1≤N≤2000,
0≤Ai≤109
样例

输入样例：
7
1
3
2
4
5
3
9
输出样例：
3

思路

       这里有一个非常非常重要的定理： 在满足最小化的前提下， 一定存在一种构造序列B的方案， 使得B中的数值都在A中出现过。
       有了这个定理我们就可以很容易的得到，用F[i, j]表示所有给A[1] ~ A[i]分配好了值并且最后一个B[i] = A[j]的方案的集合。
代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N = 2010, inf = 0x3f3f3f3f;
int a[N], b[N], f[N][N];
int n;
int dp(){
    for(int i = 1; i <= n; i++) b[i] = a[i];
    sort(b + 1, b + n + 1);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        int minn = inf;
        for(int j = 1; j <= n; j++){
            minn = min(minn, f[i - 1][j]);
            f[i][j] = minn + abs(a[i] - b[j]);
        }
    }
    int ans = inf;
    for(int i = 1; i <= n; i++) ans = min(ans, f[n][i]);
    return ans;
}
int main(){
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    int ans = dp();
    reverse(a + 1, a + n + 1);
    ans = min(ans, dp());
    cout << ans << endl;
    return 0;
}