【POJ3666】Making the Grade 离散化+DP

学到了一个引理：在满足S最小化的条件下，一定存在一种构造序列B的方案，使得序列B中的数值都来自于A中。（数学归纳法+中位数定理得证）

对于状态的表示来说，首先肯定有一个 i ，表示选到了第 i 个数时对应的最优解，由于需要维护序列单调性，因此需要再在状态中加入一个因素 j ，表示在第 i 位选了离散化后的A[ j ]。

状态转移为\(dp[i][j]=min\{dp[i-1][k],k\in[1,j]\}+|A[i]-B[j]|\)

代码如下：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=2010;

int n,len,a[maxn],b[maxn],dp[maxn][maxn];

void read_and_parse(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),b[i]=a[i];

    sort(b+1,b+n+1);
    len=unique(b+1,b+n+1)-b-1;
}

void solve(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int val=inf;
        for(int j=1;j<=len;j++){
            val=min(val,dp[i-1][j]);
            dp[i][j]=val+abs(a[i]-b[j]);
        }
    }
    int ans=dp[n][1];
    for(int i=2;i<=len;i++)ans=min(ans,dp[n][i]);
    printf("%d\n",ans);
}

int main(){
    read_and_parse();
    solve();
    return 0;
}