深度学习入门笔记（十四）：Softmax

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深度学习入门笔记（十四）：Softmax

1、Softmax 回归

• 如果是二分分类的话，只有两种可能的标记——0或1，如果是猫咪识别例子，答案就是：这是一只猫或者不是一只猫；
• 如果有多种可能的类型的话呢？有一种 logistic 回归的一般形式，叫做 Softmax 回归，能在试图识别某一分类时做出预测，或者说是多种分类中的一个，不只是识别两个分类，一起看一下。

假设不单单需要识别猫，而是想识别猫，狗和小鸡，其中把猫称为类1，狗为类2，小鸡是类3，如果不属于以上任何一类，就分到“其它”或者说“以上均不符合”这一类，把它称为类0。

这里显示的图片及其对应的分类就是一个例子，这幅图片上是一只小鸡，所以是类3，猫是类1，狗是类2，如果猜测是一只考拉，那就是类0，下一个小鸡，类3，以此类推。假设用符号大写的 $C$ 来表示输入会被分的类别总个数，那么在这个例子中，共有4种可能的类别，包括猫、狗、小鸡，还有“其它”或“以上均不符合”这一类。当有这4个分类时，指示类别的数字就是从0到 $C-1$，换句话说就是0、1、2、3。

如果在这个例子中想要建立一个神经网络，那么其输出层需要有4个，或者说 $C$ 个输出单元，如图：

我们想要输出层单元通过数字的方式，告诉我们这4种类型中判别为每个类别的概率有多大，所以这里的：

• 第一个节点输出的应该是或者说希望它输出“其它”类的概率；
• 第二个节点输出的应该是或者说希望它输出猫的概率；
• 第三个节点输出的应该是或者说希望它输出狗的概率；
• 第四个节点输出的应该是或者说希望它输出小鸡的概率；

因此这里的输出 $\hat y$ 将是一个 $4×1$ 维向量，它必须输出四个数字，代表四种概率，并且输出中的四个数字加起来应该等于1才对。如果想让网络做到这一点，那么需要用到的标准模型是 Softmax 层，以及输出层来生成输出。

在神经网络的最后一层， $z^{[l]}$ 是最后一层的 $z$ 变量，计算方法是：

$z^{[l]} = W^{[l]}a^{[L-1]} + b^{[l]}$

算出了 $z$ 之后就需要应用 Softmax 激活函数了，这个激活函数对于 Softmax 层而言是有些不同，它的作用是这样的：

• 首先，计算一个临时变量 $t=e^{z^{[l]}}$，这适用于每个元素，而这里的 $z^{[l]}$，在我们的例子中， $z^{[l]}$ 是4×1的，四维向量 $t=e^{z^{[l]}}$，这是对所有元素求幂；
• 然后计算输出的 $a^{[l]}$，基本上就是向量 $t$，但是要做归一化，使和为1，计算公式 $a^{[l]} = \frac{t_{i}}{\sum_{j =1}^{4}t_{i}} = \frac{e^{z^{[l]}}}{\sum_{j =1}^{4}t_{i}}$。

你可能不是很懂这个意思，别担心，来看一个例子，详细解释一下上面的公式。

假设算出了 $z^{[l]}$， $z^{[l]} = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ - 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix}$，我们要做的就是用上面的方法来计算 $t$，所以 $t =\begin{bmatrix} e^{5} \\ e^{2} \\ e^{- 1} \\ e^{3} \\ \end{bmatrix}$，当然如果按一下计算器的话，就会得到以下值 $t = \begin{bmatrix} 148.4 \\ 7.4 \\ 0.4 \\ 20.1 \\ \end{bmatrix}$。对向量 $t$ 归一化就能得到向量 $a^{[l]}$，方法是把 $t$ 的元素都加起来，得到176.3，计算公式是 $a^{[l]} = \frac{t} {176.3}$，即可得：

• 第一个节点，输出 $\frac{e^{5}}{176.3} =0.842$，这意味着，这张图片是类0的概率就是84.2%。
• 第二个节点，输出 $\frac{e^{2}}{176.3} =0.042$，这意味着，这张图片是类1的概率就是4.2%。
• 第三个节点，输出 $\frac{e^{- 1}}{176.3} =0.002$，这意味着，这张图片是类2的概率就是0.2%。
• 最后一个节点，输出 $\frac{e^{3}}{176.3} =0.114$，也就是这张图片是类3的概率就是11.4%，也就是小鸡组，对吧？

这就是它属于类0，类1，类2，类3的可能性。

神经网络的输出 $a^{[l]}$，也就是 $\hat y$，是一个4×1维向量，就是算出来的这四个数字( $\begin{bmatrix} 0.842 \\ 0.042 \\ 0.002 \\ 0.114 \\ \end{bmatrix}$)，所以这种算法通过向量 $z^{[l]}$计算出总和为1的四个概率。

Softmax 分类器还可以代表其它的什么东西么？

举几个例子，假设有两个输入 $x_{1}$， $x_{2}$，它们直接输入到 Softmax 层，有三四个或者更多的输出节点，输出 $\hat y$。如果是一个没有隐藏层的神经网络，就是计算 $z^{[1]} = W^{[1]}x + b^{[1]}$，而输出的 $a^{[l]}$，或者说 $\hat y$， $a^{[l]} = y = g(z^{[1]})$，就是 $z^{[1]}$ 的 Softmax 激活函数。

这个例子中（左边图），原始输入只有 $x_{1}$ 和 $x_{2}$，一个 $C=3$ 个输出分类的 Softmax 层能够代表这种类型的决策边界，请注意这是几条线性决策边界，但这使得它能够将数据分到3个类别中。在这张图表中，我们所做的是选择这张图中显示的训练集，用数据的3种输出标签来训练 Softmax 分类器，图中的颜色显示了 Softmax 分类器的输出阈值，输入的着色是基于三种输出中概率最高的那种。因此可以看到这是 logistic 回归的一般形式，有类似线性的决策边界，但有超过两个分类，分类不只有0和1，而是可以是0，1或2。中间图是另一个 Softmax 分类器可以代表的决策边界的例子，用有三个分类的数据集来训练，还有右边图也是。

但是直觉告诉我们，任何两个分类之间的决策边界都是线性的，这就是为什么可以看到，比如黄色和红色分类之间的决策边界是线性边界，紫色和红色之间的也是线性边界，紫色和黄色之间的也是线性决策边界，但它能用这些不同的线性函数来把空间分成三类。

我们来看一下更多分类的例子：

这个例子中（左边图） $C=4$，因此这个绿色分类和 Softmax 仍旧可以代表多种分类之间的这些类型的线性决策边界。另一个例子（中间图）是 $C=5$ 类，最后一个例子（右边图）是 $C=6$，这显示了 Softmax 分类器在没有隐藏层的情况下能够做到的事情，当然更深的神经网络会有 $x$，然后是一些隐藏单元，以及更多隐藏单元等等，因此可以学习更复杂的非线性决策边界，来区分多种不同分类。

2、训练一个 Softmax 分类器

如何学习训练一个使用了 Softmax 层的模型？

回忆之前举的的例子，输出层计算出的 $z^{[l]}$ 如下， $z^{[l]} = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ - 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix}$，输出层的激活函数 $g^{[L]}()$ 是 Softmax 激活函数，那么输出就会是这样的：

简单来说就是归一化，使总和为1，注意到向量 $z$ 中，最大的元素是5，而最大的概率也就是第一种概率，为啥会这样？

这要从头讲起，Softmax 这个名称的来源是与所谓 hardmax 对比，hardmax 会把向量 $z$ 变成这个向量 $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$，hardmax 函数会观察 $z$ 的元素，然后在 $z$ 中最大元素的位置放上1，其它位置放上0。

与之相反，Softmax 所做的从 $z$ 到这些概率的映射更为温和，不知道这是不是一个好名字，但至少这就是 softmax 这一名称背后所包含的想法，与 hardmax 正好相反。

有一点没有细讲，但之前已经提到过的，就是 Softmax 回归或 Softmax 激活函数将 logistic 激活函数推广到 $C$ 类，而不仅仅是两类，如果 $C=2$，那么 Softmax 变回了 logistic 回归。

接下来看怎样训练带有 Softmax 输出层的神经网络，具体而言，先定义训练神经网络使会用到的损失函数。举个例子，看看训练集中某个样本的目标输出，真实标签是 $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$，这表示这是一张猫的图片，因为它属于类1，现在假设神经网络输出的是 $\hat y$， $\hat y$ 是一个包括总和为1的概率的向量， $y = \begin{bmatrix} 0.3 \\ 0.2 \\ 0.1 \\ 0.4 \\ \end{bmatrix}$，总和为1，这就是 $a^{[l]}$， $a^{[l]} = y = \begin{bmatrix} 0.3 \\ 0.2 \\ 0.1 \\ 0.4 \\ \end{bmatrix}$。所以你可以明显看到对这个样本来说神经网络的表现不佳，这实际上是一只猫，但是猫的概率却只有20%。

那么用什么损失函数来训练这个神经网络？

在 Softmax 分类中，一般用到的损失函数是 $L(\hat y,y ) = - \sum_{j = 1}^{4}{y_{j}log\hat y_{j}}$，现在用上面的样本来验证一下，方便更好地理解整个过程。注意在这个样本中 $y_{1} =y_{3} = y_{4} = 0$，因为这些都是0，只有 $y_{2} =1$，所以如果看这个求和，所有含有值为0的 $y_{j}$ 的项都等于0，最后只剩下 $-y_{2}t{log}\hat y_{2}$，因为当按照下标 $j$ 全部加起来，所有的项都为0，除了 $j=2$ 时，又因为 $y_{2}=1$，所以它就等于 $- \ log\hat y_{2}$。即：

$L\left( \hat y,y \right) = - \sum_{j = 1}^{4}{y_{j}\log \hat y_{j}} = - y_{2}{\ log} \hat y_{2} = - {\ log} \hat y_{2}$

这就意味着，如果学习算法试图将损失函数变小，就是使 $-{\log}\hat y_{2}$ 变小，要想做到这一点，就需要使 $\hat y_{2}$ 尽可能大， $log$ 函数虽然是递增的，但是 $-log$ 函数是递减的，这就讲得通了。又因为在这个例子中 $x$ 是猫的图片，就需要猫这项输出的概率尽可能地大（ $y= \begin{bmatrix} 0.3 \\ 0.2 \\ 0.1 \\ 0.4 \\ \end{bmatrix}$ 中第二个元素）。

概括一下，损失函数所做的就是找到训练集中的真实类别，然后试图使该类别相应的概率尽可能地高，如果你熟悉统计学中最大似然估计，这其实就是最大似然估计的一种形式。但如果你不知道那是什么意思，也不用担心，用刚讲过的算法思维也足够理解了。

上面所讲的，是单个训练样本的损失，那么整个训练集的损失 $J$ 又如何呢？也就是设定参数的代价之类的，还有各种形式偏差的代价，还是和之前讲过的一样，你大致也能猜到，就是整个训练集损失的总和，把训练算法对所有训练样本的预测都加起来：

$J( w^{[1]},b^{[1]},\ldots\ldots) = \frac{1}{m}\sum_{i = 1}^{m}{L( \hat y^{(i)},y^{(i)})}$

因此用梯度下降法，使损失最小化。

最后还有一个实现细节，注意！因为 $C=4$， $y$ 是一个4×1向量，如果向量化，矩阵大写 $Y$ 就是 $\lbrack y^{(1)}\text{}y^{(2)}\ldots\ldots\ y^{\left( m \right)}\rbrack$，举个例子，如果上面的样本是第一个训练样本，那么矩阵 $Y =\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & \ldots \\ 1 & 0 & 0 & \ldots \\ 0 & 1 & 0 & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots \\ \end{bmatrix}$，那么这个矩阵 $Y$ 最终就是一个 $4×m$ 维矩阵。

类似的， $\hat{Y} = \lbrack{\hat{y}}^{(1)}{\hat{y}}^{(2)} \ldots \ldots\ {\hat{y}}^{(m)}\rbrack$，其实就是 ${\hat{y}}^{(1)}$（ $a^{[l](1)} = y^{(1)} = \begin{bmatrix} 0.3 \\ 0.2 \\ 0.1 \\ 0.4 \\ \end{bmatrix}$），那么 $\hat{Y} = \begin{bmatrix} 0.3 & \ldots \\ 0.2 & \ldots \\ 0.1 & \ldots \\ 0.4 & \ldots \\ \end{bmatrix}$， $\hat{Y}$ 本身也是一个 $4×m$ 维矩阵。

最后还是来看一下，在有 Softmax 输出层时，如何实现梯度下降法，这个输出层会计算 $z^{[l]}$，它是 $C×1$ 维的，在上面的例子中是4×1，然后用 Softmax 激活函数来得到 $a^{[l]}$ 或者说 $y$，然后又能由此计算出损失。具体操作还是和之前见过的反向传播一样，不懂或者忘记的同学可以去查阅一下前面的笔记。

关于具体如何实现这个函数，下次课会开始使用一种深度学习编程框架，对于这些编程框架，通常只需要专注于把前向传播做对即可，编程框架它自己会弄明白怎样反向传播，这也是为什么很多人被称为调包侠的原因，因为编程框架会帮你搞定导数计算。

给一个 Python 实现 softmax 的小例子，理解理解公式：

# softmax函数，将线性回归值转化为概率的激活函数。
# 输入s要是行向量
def softmax(s):
    return np.exp(s) / np.sum(np.exp(s), axis=1)

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参考文章

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