FOC中的Clarke变换和Park变换详解

1 前言

永磁同步电机是复杂的非线性系统，为了简化其数学模型，实现控制上的解耦，需要建立相应的坐标系变换，即Clark变换和Park变换。

2 自然坐标系ABC

三相永磁同步电机的驱动电路如下图所示；

根据图示电路可以发现在三相永磁同步电机的驱动电路中，三相逆变输出的三相电压为 $U_{A}$， $U_{B}$， $U_{C}$将作用于电机，那么在三相平面静止坐标系ABC中，电压方程满足以下公式：

$U_{A} = U_{m}cos\theta_{e} \\ U_{B} = U_{m}cos(\theta_{e} + \cfrac{2\pi}{3}) \\ U_{C} = U_{m}cos(\theta_{e} - \cfrac{2\pi}{3})$

$\theta_{e}$为电角度
$U_{m}$为相电压基波峰值

所以根据上述公式可以发现，三相电压的大小是随时间变化的正弦波形，相位依次相差120°，具体如下图所示；

3 $\alpha\beta$ 坐标系

由静止三相坐标系 $ABC$变换到静止坐标系 $\alpha\beta$的过程称之为Clarke变换；在 $\alpha\beta$静止坐标系中， $\alpha$轴和 $\beta$轴的相位差为90°，且 $\alpha\beta$的大小是随时间变化的正弦波形，具体如下图所示；

从自然坐标系 $ABC$ 变换到静止坐标系 $\alpha\beta$，满足以下条件：
$\begin{bmatrix} f_{\alpha} \\ f_{\beta} \\ f_{0} \end{bmatrix} = T_{3s/2s}*\begin{bmatrix} f_{A} \\ f_{B} \\ f_{C} \end{bmatrix}$
其中 $T_{3S/2S}$为变换矩阵：
$T_{3S/2S} = N*\begin{bmatrix} 1 &-\cfrac{1}{2} &-\cfrac{1}{2} \\ \\ 0 &\cfrac{\sqrt{3}}{2} &-\cfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ \cfrac{\sqrt{2}}{2} &\cfrac{\sqrt{2}}{2} &\cfrac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$

注意： $N$为系数，做等幅值变换和等功率变换 $N$系数不同；
等幅值变换 $N =\cfrac{2}{3}$
等功率变换 $N =\sqrt\cfrac{2}{3}$
下面均为等幅值变换

3.1 Clarke变换

三相电流 $ABC$分别为 $i_{A}$， $i_{B}$， $i_{C}$，根据基尔霍夫电流定律满足以下公式：
$i_{A}+i_{B}+i_{C} = 0$
静止坐标系 $\alpha\beta$， $\alpha$轴的电流分量为 $i_{\alpha}$， $i_{\beta}$，则Clark变换满足以下公式：

$i_{\alpha} = i_{A} \\ \\ i_{\beta} = \cfrac{1}{\sqrt{3}}*i_{A}+\cfrac{2}{\sqrt{3}}*i_{B}$

在matlab的simulink仿真如下图所示；

最终得到三相电流 $i_{A}$， $i_{B}$， $i_{C}$的仿真结果如下；

得到 $\alpha\beta$ 坐标的 $i_{\alpha}$ 和 $i_{\beta}$ 的仿真结果如下图所示；

由上述两张图分析可以得到，等幅值Clark变换前后峰值不变， $\alpha\beta$坐标系中 $i_{\alpha}$和 $i_{\beta}$相位相差90°。

3.2 Clarke反变换

暂略

Clarke反变换的simulink仿真如下图所示；

4 $dq$ 坐标系

$dq$ 坐标系相对与定子来说是旋转的坐标系，转速的角速度和转子旋转的角速度相同，所以，相当于转子来说， $dq$ 坐标系就是静止的坐标系；而 $i_{d}$和 $i_{q}$则是恒定不变的两个值，具体如下图所示；

根据物理结构，我们发现；
$d$ 轴方向与转子磁链方向重合，又叫直轴；
$q$ 轴方向与转子磁链方向垂直，又叫交轴；
$d$轴和 $q轴$如下图所示；

4.1 Park变换

Park变换的本质是静止坐标系 $\alpha\beta$乘以一个旋转矩阵，从而得到 $dq$坐标系，其中满足以下条件：
$\begin{bmatrix} f_{d} \\ f_{q} \end{bmatrix} = T_{2s/2r}*\begin{bmatrix} f_{\alpha} \\ f_{\beta} \end{bmatrix}$
其中 $T_{2s/2r}$为旋转矩阵，所以，park变换和park反变换其根本就是旋转矩阵不同， $T_{2s/2r}$可以表示为：
$T_{2s/2r} = \begin{bmatrix} cos\theta_{e} & sin\theta_{e} \\ -sin\theta_{e} & cos\theta_{e} \end{bmatrix}$

$T_{2s/2r}$ 含义为 $2*stator$ ==> $2*rotor$
2轴定子坐标系转换到2轴转子坐标系

由上式可以得到：
$i_{d}=i_{\alpha}*cos\theta+i_{\beta}*sin\theta \\ i_{q}=-i_{\alpha}*sin\theta+i_{\beta}*cos\theta$
其中simulink仿真如下图所示；

作为输入的 $i_{\alpha}$ 和 $i_{\beta}$，仿真波形如下图所示；

最终经过Park变换得到 $i_{d}$和 $i_{q}$如下图所示；

可以看到， $i_{d}$和 $i_{q}$是恒定值，所以Park变换也叫做交直变换，由输入的交流量，最终变换到相对与转子坐标的直流量。

在实际写FOC的过程中对于这块变换产生了一个疑问；这里再区分一下正转和反转的情况，以此来说明一下Id和Iq的实际中的作用；
下面先规定一个方向为反转；

正转

通常，大部分书籍以及论文中的正转输入的三相波形如下：
$U_{A} = U_{m}cos\theta_{e} \\ U_{B} = U_{m}cos(\theta_{e} - \cfrac{2\pi}{3}) \\ U_{C} = U_{m}cos(\theta_{e} + \cfrac{2\pi}{3})$

反转

$U_{A} = U_{m}cos\theta_{e} \\ U_{B} = U_{m}cos(\theta_{e} + \cfrac{2\pi}{3}) \\ U_{C} = U_{m}cos(\theta_{e} - \cfrac{2\pi}{3})$

4.2 Park反变换

Park反变换又叫直交变换，由 $dq$轴的直流量，最终变换到 $\alpha\beta$的交流量，其中满足变换条件如下：
$\begin{bmatrix} f_{d} \\ f_{q} \\ \end{bmatrix} = T_{2r/2s}*\begin{bmatrix} f_{\alpha} \\ f_{\beta} \\ \end{bmatrix}$

其中 $T_{2s/2r}$为Park变换的逆矩阵，所以，存在条件：
$T_{2r/2s} = T_{2r/2s}^{-1} = \begin{bmatrix} cos\theta_{e} & -sin\theta_{e} \\ sin\theta_{e} & cos\theta_{e} \\ \end{bmatrix}$

最终由上式可以得到：
$i_{\alpha}=i_{d}*cos\theta-i_{q}*sin\theta \\ i_{\beta}=i_{d}*sin\theta+i_{q}*cos\theta$

仿真暂略。