Clark变换和Park变换在三相系统和单相系统中的应用

1. 引言

  Clark变换和Park变换在三相系统中应用广泛，并且在单相系统中也有应用。但是以往的资料都是仅分析单相的坐标变换或者三相的坐标变换，并没有总结三相和单相的联系。本文将以坐标变换矩阵为载体，分析坐标变换在单相和三相系统中的应用。

2. Clark变换

2.1 三相系统

  假设$u_a=U_{m}cos\omega t$, $u_b=U_{m}cos(\omega t-120^{\circ })$, $u_c=U_{m}cos(\omega t+120^{\circ })$。经过Clark变换后的结果是$u_{\alpha }=U_{m}cos\omega t$, $u_{\beta }=U_{m}sin\omega t$。 根据变换前后的表达式，我们能够得到三相系统中Clark逆变换的表达式：
$$\left[\begin{array}{c}{u}_a\\ u_b\\ u_c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{(}3)}{2}\\ -\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{(}3)}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_{\alpha }\\ u_{\beta }\end{array}\right]$$
将该表达式反着写，便得到了我们熟知的Clark变换表达式：
$$\left[\begin{array}{c}{u}_{\alpha }\\ u_{\beta }\end{array}\right]=\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{(}3)}{2}& -\frac{\sqrt{(}3)}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_a\\ u_b\\ u_c\end{array}\right]$$

2.2 单相系统

  借鉴三相系统的思想，假设$u_a=U_{m}cos\omega t$， 经过Clark变换后的结果是$u_{\alpha }=U_{m}cos\omega t$, $u_{\beta }=U_{m}sin\omega t$。由于单相只有一个物理量，所以我们虚拟一个滞后于 $u_a$ 90度的物理量 $u_{a1}=U_{m}sin\omega t$。根据变换前后的表达式，我们能够得到三相系统中Clark逆变换的表达式：
$$\left[\begin{array}{c}{u}_a\\ u_{a1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_{\alpha }\\ u_{\beta }\end{array}\right]$$
将该表达式反着写，便得到了单相系统的Clark变换表达式：
$$\left[\begin{array}{c}{u}_{\alpha }\\ u_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_a\\ u_{a1}\end{array}\right]$$
如果设定$u_{a1}=-U_{m}sin\omega t$，相应地修改矩阵即可。

3. Park变换

3.1 三相系统

  假设$u_a=U_{d}sin\omega t+U_{q}cos\omega t$, $u_b=U_{d}sin(\omega t-120^{\circ })+U_{q}cos(\omega t-120^{\circ })$, $u_c=U_{d}sin(\omega t+120^{\circ })+U_{q}cos(\omega t+120^{\circ })$。经过Park变换后的结果是$u_{\alpha }=U_d$, $u_{\beta }=U_q$。 根据变换前后的表达式，我们能够得到三相系统中Park逆变换的表达式：
$$\left[\begin{array}{c}{u}_a\\ u_b\\ u_c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}sinwt& coswt\\ sin(wt-120^{\circ })& cos(wt-120^{\circ })\\ sin(wt+120^{\circ })& cos(wt+120^{\circ })\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_d\\ u_q\end{array}\right]$$
将该表达式反着写，便得到了我们熟知的Plark变换表达式：
$$\left[\begin{array}{c}{u}_d\\ u_q\end{array}\right]=\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}sinwt& sin(wt-120^{\circ })& sin(wt+120^{\circ })\\ coswt& cos(wt-120^{\circ })& cos(wt+120^{\circ })\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_a\\ u_b\\ u_c\end{array}\right]$$

3.2 单相系统

  借鉴三相系统的思想，假设$u_a=U_{d}sin\omega t+U_{q}cos\omega t$， 经过Park变换后的结果是$u_{\alpha }=U_d$, $u_{\beta }=U_q$。由于单相只有一个物理量，所以我们虚拟一个滞后于 $u_a$ 90度的物理量 $u_{a1}=U_{d}sin(\omega t-90^{\circ })+U_{q}cos(\omega t-90^{\circ })$。根据变换前后的表达式，我们能够得到三相系统中Park逆变换的表达式：
$$\left[\begin{array}{c}{u}_a\\ u_{a1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}sinwt& coswt\\ -coswt& sinwt\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_d\\ u_q\end{array}\right]$$
将该表达式反着写，便得到了单相系统的Park变换表达式：
$$\left[\begin{array}{c}{u}_d\\ u_q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}sinwt& -coswt\\ coswt& sinwt\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_a\\ u_{a1}\end{array}\right]$$
如果设定$u_{a1}$超前$u_a$ 90度，相应地修改矩阵即可。

4. 结论

  通过上面的分析，我们可以发现，只要确定了变换前后的表达式，就能够确定变换矩阵。对于单相而言，需要构造一个虚拟的物理量，这个物理量的表达式不同，导致最后的变换矩阵不一样。

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