历届试题 切开字符串
问题描述
Pear有一个字符串，不过他希望把它切成两段
这是一个长度为N（<=105）的字符串
Pear希望选择一个位置，把字符串不重复不遗漏地切成两段，长度分别是t和N-t（这两段都必须非空）
Pear用如下方式评估切割的方案：
定义“正回文子串”为：长度为奇数的回文子串
设切成的两段字符串中，前一段中有A个不相同的正回文子串，后一段中有B个不相同的非正回文子串，则该方案的得分为A╳B。
注意，后一段中的B表示的是：“…非正回文…”，而不是: “…正回文…”。
那么所有的切割方案中，A╳B的最大值是多少呢？
【输入数据】
输入第一行一个正整数N（<=105）
接下来一行一个字符串，长度为N。该字符串仅包含小写英文字母
【输出数据】
一行一个正整数，表示所求的A╳B的最大值
【样例输入】
10
bbaaabcaba
【样例输出】
38
——分割线之初入江湖——
在对本题进行解答前必须先了解一下什么叫做“回文”。回文的定义是：
把相同的词汇或句子，在下文中调换位置或颠倒过来，产生首尾回环的情形，叫做回文，也叫回环
比如说，单个的某字符是一个回文（如a），多个的某些（如aba、aabbaa、abcba）也是
“上海自来水来自海上”是一个回文，“非人磨墨墨磨人”也是
而本题中则出现了一个新的名称“正回文”
这个新的名称其实就是在“回文”的基础上对其多加了一个限制（长度为奇数）
因此在我们解题过程中不可避免地需要写一个判断函数，用以判别传递进的某个字串是否为回文，如下：
bool isPalindrome(string str)
{ //判断传递进的字符串是否是回文
int i=0,j=str.length()-1;
while(i<j)
{
if(str[i]==str[j]) i++,j--;
else return false;
}
return true;
}
当然，你也可以顺带在这里面把是否为正回文（即字符串长度是否为奇）给判断了
——分割线之艰难磨砺——
接着我们来对题目进行一个解读和分析
题目给出的任务是让我们对一个字符串进行分割（要求不能存在为空的子串），假设分割后前面半截字符串为A，后面半截字符串为B。此时我们的程序需求出子串A中包含的正回文数re，以及子串B中包含的非正回文数notre，然后得到一个值re ╳ notre，显然这个值取决于你在分割原字符串时的分法。
比如说原字符串是ababc，则得到的re╳notre就有以下四个（值的个数=字符串的长度-1）：
①假设你分割此字符串的分法为：a | babc，即子串A为”a”，子串B为”babc”。
则A中的正回文数为1（A中的全部子串为：”a”） （红色标注的子串为正回文串，否则不是）
B中的非正回文数为5（B中的全部子串为：”b”,”a”,”c”,”ba”,”ab”,”bc”,”bab”,”abc”,”babc”，注意去掉重复子串）
故得到 re * notre为1*5=5
这里需要对“非正回文”进行一个释义，何谓“非正回文”？
你传入一个字符串，对其进行判断其是否为正回文：如果为真则是正回文；如果为假则是非正回文
②假设你分割此字符串的分法为：ab | abc，即子串A为”ab”，子串B为”abc”。
则A中的正回文数为2（A中的全部子串为：”a”,”b”,”ab”）
B中的非正回文数为3（B中的全部子串为：”a”,”b”,”c”,”ab”,”bc”,”abc”）
故得到 re * notre为2*3=6
③假设你分割此字符串的分法为：aba | bc，即子串A为”aba”，子串B为”bc”。
则A中的正回文数为3（A中的全部子串为：”a”,”b”,”ab”,”ba”,”aba” ，注意去掉重复子串）
B中的非正回文数为1（B中的全部子串为：”b”,”c”,”bc”）
故得到 re * notre为3*1=3
④假设你分割此字符串的分法为：abab | c，即子串A为”abab”，子串B为”c”。
则A中的正回文数为4（A中的全部子串为：”a”,”b”,”ab”,”ba”,”aba”,”bab”,”abab”，注意去掉重复子串）
B中的非正回文数为0（B中的全部子串为：”c”）
故得到 re * notre为4*0=0
题目的要求就是得到这四个值中的最大值（即“所有的切割方案中，A*B的最大值是多少”）。
在上面我给出了一个样例，并以这个样例数据进行了题目的意义解读。
细心的同学可能早已从中发现了本题的一种解题思路——模拟
就像上面的我的分析一样，先用一个循环来枚举每一种切割方案，然后再对其中的每一个方案进行对应的求值，最后输出其中的最大值（即，模拟上面的分析过程来设计算法）
这样的思路很简单，至少在我说出来之后所有人都能马上get到这层意思。但还是那句话：“越容易想到的、越简单的算法，往往是性能越低的”。你仔细看本题的数据范围，N <= 105，乍一看还能接受，这意味着你最外层有105的数量级。但对于这最外层中的每一层，你又需要一个二重循环去遍历得到其中的所有子串。比如说对于某个字符串abcadhf，你如何得到其中的子串？你的算法应该是先利用一个外层循环指定起点，再使用一个内层循环确定在定起点的前提下的终点，并在此将指定子串截取出，如下：
int length=strlen(str); //str为指定的某个字符串
for(int i=0;i<length;i++)
for(int j=i;j<length;j++)
string substr=str.substr(i,j-i+1); //从i开始截取，截取长度为j-i+1的子串
这样看来就是一个三重循环的算法，此时你再来看最外层的105，显然是无法接受的。因为内层的两个循环的数量级与最外层的范围是相关的，且其算数平均数量级=最外层的数据范围/2
简言之，对于题目中给出的最大的那组数据，程序总的时间复杂度大概是O(n15/4)，超时无疑
且对于其他（如n取值在103之上的数据），也有超时的风险，因此这个算法必然不可能拿到满分
——分割线之不断深造——
此时我们就需要另辟捷径
在设计新的算法时，我们需要去总结前面的算法的失败原因，然后从中找到可取的，并舍弃不可取的
前面的算法有一个很大的问题是，做了大量的重复工作
还是拿前面对字符串”ababc”的分析举例，我们在①到④中都需要做两个工作，求子串A的正回文数，求子串B的非正回文数。比如我们在求A的正回文数时，这个过程如下：
①A=”a”时其正回文数为1（A中的全部子串为：”a”）
②A=”ab”时其正回文数为2（A中的全部子串为：”a”,”b”,”ab”）
③A=”aba”时其正回文数为3（A中的全部子串为：”a”,”b”,”ab”,”ba”,”aba”）
④A=”abab”时其正回文数为4（A中的全部子串为：”a”,”b”,”ab”,”ba”,”aba”,”bab”,”abab”）
你会发现，这个求正回文值的过程非常繁琐。对于每一次外层的变动（即字符串A的更新），内层都需要从中再次截取其包含的子串，然后再统计其中的正回文串。同样地，对于字符串B的非正回文串的统计也是如此。这个过程也就是导致前面的那个算法失败的主要原因。
好了，找到了前面的算法的失败原因之后，我们就可以对其进行改进。
首先需要解决的就是，如何把前面由于字符串A（或者字符串B）频繁更新而导致内层重复截取子串的问题解决掉。我们首先想到的应该是，打表（即，我们在程序录入了总的字符串后，就直接将其中的关于分割位置i所得到的对应的正回文数和非正回文数统计出来。这样在之后需要相关的值时就不必再去经历一个复杂且耗时的过程，而是直接从数组中获取即可）
于是可以得到以下两个数组
一个数组存放的是关于切割位置i的正回文数 re[N]；
另一个数组存放的是关于切割位置i的非正回文数 not_re[N]
这里再强调一下：正回文数是针对前半截子串，非正回文数是针对后半截子串。因此在求数组 re 和 not_re 时，re 应该从总字符串左边开始向右遍历，not_re 应该从总字符串右边开始向左遍历。
下面给出通过打表得到的对于上面例子中（字符串”ababc”）的两个数组的信息，数组 re 的信息如下：
re[0]=1; //分割为a|babc
re[1]=2; //分割为ab|abc
re[2]=3; //分割为aba|bc
re[3]=4; //分割为abab|c
数组 not_re 中的信息如下：
not_re[1]=5; //分割为a|babc
not_re[2]=3; //分割为ab|abc
not_re[3]=1; //分割为aba|bc
not_re[4]=0; //分割为abab|c
此时我们需要做的就是通过一层循环，求出数组 re 和 not_re 在相应分割方案下，其乘积的最大值
注意：前面在求数组 re 和 not_re 时，由于出发方向的不同（一个从从左到右，一个自右向左），导致他们的起点也就不同（从左到右的数组从索引0开始，而自右向左的数组从索引 n-1 开始），同时也导致终点不同（从左到右的数组到索引 n-2 结束，而自右向左的数组到索引1结束），但是两者的长度都是一致的（均为 n-1）。因此两者在相对应时（即同属于一个分割方案时），其满足的要求是: re[n-1] & not_re[n]
拿上面的例子来说就是，re[0] 和 re[1] 表示同一个分割方案下分别得到的子串A和子串B；同样地，re[1] 和 not_re[2] 也是……所以得出 re[n-1] 和 not_re[n] 为同一个分割方案下分别得到的子串A和子串B。
对于上面的结果，我们来观察各个乘积的结果：
re[0] ╳ not_re[1]=1 ╳ 5=5
re[1] ╳ not_re[2]=2 ╳ 3=6
re[2] ╳ not_re[3]=3 ╳ 1=3
re[3] ╳ not_re[4]=4 ╳ 0=0
显然，这里面的最大值时6，这也和上面的分析结果一致
——分割线之炉火纯青——
下面给出本题的完整代码
#include<iostream>
#include<string>
#include<set>
using namespace std;
const int MAX=100010;
int re[MAX],not_re[MAX]; //分别存放在某个点切断时的（非）正回文数量
set<string> u1,u2; //集合去重以及统计子串数量
long long max(long long a,long long b)
{ return a>b?a:b; }
bool isPalindrome(string str)
{//判断传递进的字符串是否是回文
int i=0,j=str.length()-1;
while(i<j)
{
if(str[i]==str[j]) i++,j--;
else return false;
}
return true;
}
int main()
{
int N;
string str;
cin>>N>>str;
//求正回文的数量
for(int i=0;i<N;i++)
{
for(int j=i;j>=0;j-=2)
{
int len=i-j+1;
string temp=str.substr(j,len);
if(isPalindrome(temp)) u1.insert(temp);
}
re[i]=u1.size();
}
//求非正回文的数量
for(int i=N-1;i>0;i--)
{
for(int j=i;j<N;j++)
{
int len=j-i+1;
string temp=str.substr(i,len);
if(temp.length()%2 && isPalindrome(temp)) continue; //是正回文则跳过
u2.insert(temp);
}
not_re[i]=u2.size();
}
long long ans=0;
for(int i=1;i<N;i++)
ans=max(ans,re[i-1]*not_re[i]);
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
