【重征算法路】之七：最大子段和算法 （动态规划）

又是18天没看算法了，最近一直忙着给别人做网站。赶紧把自己拉回来看算法、写博客！

算法介绍

问题：
给定n个整数（可能为负数）组成的序列a1——an,求该序列如 ai+……+aj 的子段和的最大值。当所给的整数均为负数时定义子段和为0。

依此定义，所求的最优值为： Max{0,a[i]+a[i+1]+…+a[j]},1<=i<=j<=n。

例如，当（a[1],a[2],a[3],a[4],a[5],a[6]）=(-20,11,-4,13,-5,-2)时，最大子段和为20。

最大子段和是动态规划中的一种。

算法时间复杂度

两种算法，算法1的时间复杂度为O（n^2）。
算法2的时间复杂度为O（n）。

算法1代码·C++版

int MaxSum(int n,int a[],int besti,int bestj){
  int sum=0;
  for(int i=1;i<=n;i++){
  	int thissum=0;
  	for(int j=i;j<=n;j++){
  		thissum+=a[j];
  		if(thissum>sum){
  			sum=thissum;
  			besti=i;
  			bestj=j;
  		}
  	}
  }
  return sum;
}

算法2代码·C++版

int MaxSum(int n,int a[10]){
  int sum=0,b=0;
  for(int i=0;i<=n;i++){
  	if(b>0) b+=a[i];
  	else b=a[i];
  	if(b>sum) sum=b;
  }
  return sum;
}

算法解释

API解释：

该算法1的API为：MaxSum(n,a[],besti,bestj)
n是a数组的长度
a是一维数组
besti、bestj用来返回最大子段的下标
该算法的返回值为最大子段的和
该算法2的API为：MaxSum(n,a[])
n是a数组的长度
a是一维数组
该算法的返回值为最大子段的和

运行解释：
算法1采用的是暴力方法，两个for循环。第一个for循环遍历，作为子段的起始下标；第二个for循环遍历，作为子段的末位下标。然后每次子段相加与sum相比，最后输出sum。

算法2采用的是动态规划思想。从该算法的代码运行角度上来解释：
b先从a[0]处开始累加计数，只要累加是负数b就为0，不赋值给sum，当等于正数时，赋值给sum，开始存入sum。之后b再继续累加，如果b加上之后的数大于sum就赋值给sum，不大于就让b一直加着吧，直到结束。

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总结一下就是，算法1需要穷举出所有的子段和且比较大小，而算法2在动态规划的思想上，采用公式推导，求出了算出最大字段和的最简公式并用算法2实现。换句话说，算法2变成了数学问题。

算法时间测试

测试数据：a[10]={-2,11,-4,13,-5,-2}
算法1平均时间：0.26us
算法2平均时间：0.16us

测试数据：a[32]={-2,11,-4,13,-5,-2,35,-9,-22,10,9,-2,-19,20,1,2,-8,1,-3,-8,22,-10,6,5,4,-7,-8,-1,-2,16}
算法1平均时间：0.3us
算法2平均时间：0.17us